Considere o seguinte caso particular do modelo de Eisner-Strotz:
& max integral0^infty[2 K-K^2-(K^prime)^2] e^-t d t & sa K(0)=K0>0 e lim t infty K(t)=Kinfty<infty
onde K=K(t) é o estoque de capital e K^prime(t)=I(t) é o investimento.
Escreva a equação de Euler obtida no item (a) como um sistema de duas EDOs envolvendo K e I. Encontre o estado estacionário deste sistema (Kinfty, Iinfty).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é um problema de otimização no modelo de Eisner-Strotz. A gente quer maximizar uma integral que representa o bem-estar ao longo do tempo, levando em conta o estoque de capital K(t) e o investimento I(t) . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de variações e equações diferenciais. Precisamos escrever a equação de Euler como um sistema de duas equações diferenciais ordinárias (EDOs) envolvendo K e I e encontrar o estado estacionário (Kinfty, Iinfty) .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa integral que estamos tentando maximizar:
integral0^infty[2 K - K^2 - (K')^2] e^-t dt
Aqui, K(t) é o estoque de capital no tempo t , e K'(t) = I(t) é o investimento. A função objetivo combina esses termos para medir o bem-estar total ao longo do tempo, descontado por e^-t , que dá mais peso ao presente do que ao futuro.

Passo 3

Para resolver isso, vamos usar a equação de Euler, que nos dá as condições de otimização para problemas de controle ótimo. A equação de Euler relaciona a derivada do benefício marginal com a taxa de mudança do capital. Mas antes, precisamos definir o Hamiltoniano do sistema.
Hamiltoniano H :
H = 2K - K^2 - I^2 + lambda I
Aqui, lambda é o multiplicador de Lagrange associado à restrição K' = I .

Passo 4

As condições de otimização permitem que a gente derive as equações de Euler. As condições são:
  1. Condição de primeira ordem para o controle I :
partial Hpartial I = 0
  1. Equação de adjunto:
lambda' = partial Hpartial K
Além disso, temos a dinâmica do sistema:
K' = I

Passo 5

Vamos calcular essas derivadas:
  1. Derivada parcial do Hamiltoniano em relação a I :
partial Hpartial I = -2I + lambda = 0 implies lambda = 2I
  1. Derivada parcial do Hamiltoniano em relação a K :
partial Hpartial K = 2 - 2K
Então, a equação de adjunto fica:
lambda' = 2 - 2K

Passo 6

Vamos juntar tudo agora. Temos três equações:
  1. lambda = 2I
  2. lambda' = 2 - 2K
  3. K' = I
Substituindo lambda = 2I na segunda equação:
(2I)' = 2 - 2K implies 2I' = 2 - 2K implies I' = 1 - K

Passo 7

Agora, temos um sistema de duas EDOs envolvendo K e I :
K' = I I' = 1 - K
Esse é o nosso sistema que descreve a dinâmica do capital e do investimento ao longo do tempo.

Passo 8

Para encontrar o estado estacionário (Kinfty, Iinfty) , queremos saber onde essas variáveis não mudam mais, ou seja, onde K' = 0 e I' = 0 .
Então, definimos:
0 = Iinfty 0 = 1 - Kinfty

Passo 9

Resolvendo essas equações:
  1. De 0 = Iinfty , temos Iinfty = 0 .
  2. De 0 = 1 - Kinfty , temos Kinfty = 1 .

Resposta

O estado estacionário do sistema é (Kinfty, Iinfty) = (1,, 0) .

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