Considere o seguinte caso particular do modelo de Eisner-Strotz:
onde
é o estoque de capital e
é o investimento.
Escreva a equação de Euler obtida no item (a) como um sistema de duas EDOs envolvendo
e
. Encontre o estado estacionário deste sistema
.
Escreva a equação de Euler obtida no item (a) como um sistema de duas EDOs envolvendo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é um problema de otimização no modelo de Eisner-Strotz. A gente quer maximizar uma integral que representa o bem-estar ao longo do tempo, levando em conta o estoque de capital
e o investimento
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de variações e equações diferenciais. Precisamos escrever a equação de Euler como um sistema de duas equações diferenciais ordinárias (EDOs) envolvendo
e
e encontrar o estado estacionário
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa essa integral que estamos tentando maximizar:
Aqui,
é o estoque de capital no tempo
, e
é o investimento. A função objetivo combina esses termos para medir o bem-estar total ao longo do tempo, descontado por
, que dá mais peso ao presente do que ao futuro.
Passo 3
Para resolver isso, vamos usar a equação de Euler, que nos dá as condições de otimização para problemas de controle ótimo. A equação de Euler relaciona a derivada do benefício marginal com a taxa de mudança do capital. Mas antes, precisamos definir o Hamiltoniano do sistema.
Hamiltoniano
:
Aqui,
é o multiplicador de Lagrange associado à restrição
.
Passo 4
As condições de otimização permitem que a gente derive as equações de Euler. As condições são:
- Condição de primeira ordem para o controle
:
- Equação de adjunto:
Além disso, temos a dinâmica do sistema:
Passo 5
Vamos calcular essas derivadas:
- Derivada parcial do Hamiltoniano em relação a
:
- Derivada parcial do Hamiltoniano em relação a
:
Então, a equação de adjunto fica:
Passo 6
Vamos juntar tudo agora. Temos três equações:
Substituindo
na segunda equação:
Passo 7
Agora, temos um sistema de duas EDOs envolvendo
e
:
Esse é o nosso sistema que descreve a dinâmica do capital e do investimento ao longo do tempo.
Passo 8
Para encontrar o estado estacionário
, queremos saber onde essas variáveis não mudam mais, ou seja, onde
e
.
Então, definimos:
Passo 9
Resolvendo essas equações:
- De
, temos . - De
, temos .
Resposta
O estado estacionário do sistema é
.