Suponha que uma mina contenha a quantidade
de algum recurso mineral a ser explorado e vendido. Se
é a quantidade acumulada do recurso vendida até o tempo
, encontre a taxa de venda
que maximiza o valor presente dos lucros da mina no periodo
, sendo seu lucro instantâneo dado por
. Para isso, você precisa resolver:
onde
é a taxa de desconto.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma mina que contém uma quantidade $ B > 0 $ de um recurso mineral que vai ser vendido ao longo do tempo até atingir um prazo $ T $. A função $ y(t) $ representa a quantidade acumulada do recurso vendida até o tempo $ t $. Queremos descobrir qual deve ser a taxa de venda $ y^{\prime *}(t) $ que maximiza o valor presente dos lucros da mina nesse período.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de Cálculo Variacional, que nos ajuda a otimizar (maximizar ou minimizar) funções que dependem de outras funções. Nesse caso, estamos maximizando um integral que representa o lucro presente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que queremos maximizar:
Aqui, $ e^{-r t} $ é o fator de desconto que ajusta o lucro para o valor presente, levando em conta uma taxa de desconto $ r > 0 $. A função $ \ln(y^{\prime}(t)) $ representa o lucro instantâneo no tempo $ t $ baseado na taxa de venda $ y^{\prime}(t) $.
Nossa meta é encontrar a função $ y^{\prime *}(t) $ que maximiza esse integral, respeitando as condições:
Passo 3
Para resolver esse tipo de problema, usamos o Princípio de Otimalidade do Cálculo Variacional, que nos leva à equação de Euler-Lagrange. A equação de Euler-Lagrange nos dá uma condição que a função ótima $ y^{\prime *}(t) $ deve satisfazer.
A forma geral da equação de Euler-Lagrange é:
onde $ L $ é a função dentro do integral que queremos otimizar. No nosso caso:
Passo 4
Vamos calcular as derivadas necessárias para a equação de Euler-Lagrange.
Primeiro, a derivada parcial de $ L $ em relação a $ y’(t) $:
Como $ L $ não depende diretamente de $ y(t) $, a derivada parcial de $ L $ em relação a $ y(t) $ é zero:
Passo 5
Agora, aplicamos a equação de Euler-Lagrange:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Simplificando:
Passo 6
Isso significa que a expressão dentro da derivada é constante:
onde $ C $ é uma constante a ser determinada.
Passo 7
Vamos resolver para $ y’(t) $:
Podemos reescrever a constante $ \frac{1}{C} $ como outra constante $ k $:
Passo 8
Agora precisamos encontrar o valor de $ k $ usando a condição final $ y(T) = B $. Integrando $ y’(t) $ de 0 a $ T $:
Calculando a integral:
Sabemos que $ y(T) = B $, então:
Resolvendo para $ k $:
Passo 9
Agora que temos $ k $, podemos expressar a taxa de venda ótima $ y^{\prime *}(t) $:
Resposta
A taxa de venda que maximiza o valor presente dos lucros é: