Suponha que uma mina contenha a quantidade B>0 de algum recurso mineral a ser explorado e vendido. Se y(t) é a quantidade acumulada do recurso vendida até o tempo t, encontre a taxa de venda y^prime *(t) que maximiza o valor presente dos lucros da mina no periodo [0, T], sendo seu lucro instantâneo dado por pi(t)=ln (y^prime(t)). Para isso, você precisa resolver:
& max integral0^T e^-r t ln (y^prime) d t & sa y(0)=0 e y(T)=B
onde r>0 é a taxa de desconto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma mina que contém uma quantidade $ B > 0 $ de um recurso mineral que vai ser vendido ao longo do tempo até atingir um prazo $ T $. A função $ y(t) $ representa a quantidade acumulada do recurso vendida até o tempo $ t $. Queremos descobrir qual deve ser a taxa de venda $ y^{\prime *}(t) $ que maximiza o valor presente dos lucros da mina nesse período.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de Cálculo Variacional, que nos ajuda a otimizar (maximizar ou minimizar) funções que dependem de outras funções. Nesse caso, estamos maximizando um integral que representa o lucro presente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que queremos maximizar:
max integral0^T e^-r t ln (y^prime(t)) dt
Aqui, $ e^{-r t} $ é o fator de desconto que ajusta o lucro para o valor presente, levando em conta uma taxa de desconto $ r > 0 $. A função $ \ln(y^{\prime}(t)) $ representa o lucro instantâneo no tempo $ t $ baseado na taxa de venda $ y^{\prime}(t) $.
Nossa meta é encontrar a função $ y^{\prime *}(t) $ que maximiza esse integral, respeitando as condições:
e^-r t

Passo 3

Para resolver esse tipo de problema, usamos o Princípio de Otimalidade do Cálculo Variacional, que nos leva à equação de Euler-Lagrange. A equação de Euler-Lagrange nos dá uma condição que a função ótima $ y^{\prime *}(t) $ deve satisfazer.
A forma geral da equação de Euler-Lagrange é:
y^prime *(t)
onde $ L $ é a função dentro do integral que queremos otimizar. No nosso caso:
ddt ( partial Lpartial y' ) - partial Lpartial y = 0

Passo 4

Vamos calcular as derivadas necessárias para a equação de Euler-Lagrange.
Primeiro, a derivada parcial de $ L $ em relação a $ y’(t) $:
L
Como $ L $ não depende diretamente de $ y(t) $, a derivada parcial de $ L $ em relação a $ y(t) $ é zero:
y'(t)

Passo 5

Agora, aplicamos a equação de Euler-Lagrange:
ddt ( partial Lpartial y' ) - partial Lpartial y = 0
Substituindo as derivadas que encontramos:
ddt ( e^-r t cdot 1y'(t) ) - 0 = 0
Simplificando:
ddt ( e^-r ty'(t) ) = 0

Passo 6

Isso significa que a expressão dentro da derivada é constante:
e^-r ty'(t) = C
onde $ C $ é uma constante a ser determinada.

Passo 7

Vamos resolver para $ y’(t) $:
y'(t)
Podemos reescrever a constante $ \frac{1}{C} $ como outra constante $ k $:
y'(t) = e^-r tC

Passo 8

Agora precisamos encontrar o valor de $ k $ usando a condição final $ y(T) = B $. Integrando $ y’(t) $ de 0 a $ T $:
k
Calculando a integral:
y(T) = B
Sabemos que $ y(T) = B $, então:
y'(t)
Resolvendo para $ k $:
T

Passo 9

Agora que temos $ k $, podemos expressar a taxa de venda ótima $ y^{\prime *}(t) $:
k

Resposta

A taxa de venda que maximiza o valor presente dos lucros é:
y^prime *(t) = B r1 - e^-r T cdot e^-r t

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