Determine as componentes tangencial e normal do vetor aceleração de uma partícula que se move com vetor posição r(t)=e^t imath+raiz2 t jmath+e^-t k. (2,0 pontos)

Passo 1

O enunciado pede as componentes tangencial e normal da aceleração de uma partícula cuja posição é
vec r(t)=e^t,vecimath+raiz2,t,vecjmath+e^-t,vec k.
O conteúdo que vamos usar é:
vec v=dotvec r e vec a=ddotvec r.
– A componente tangencial da aceleração é
aT=vec vcdotvec alvertvec vrvert,
– A componente normal da aceleração pode ser obtida por
aN=raizlvertvec arvert^2-aT^2

Passo 2

Derivando vec r obtemos a velocidade e depois a aceleração:
vec v(t)=dotvec r(t)=e^t,vecimath+raiz2,vecjmath -e^-t,vec k,
vec a(t)=ddotvec r(t)=e^t,vecimath+0;vecjmath+e^-t,vec k

Passo 3

Calculamos o módulo de vec v e o produto escalar vec vcdotvec a:
lvertvec vrvert =raiz(e^t)^2+(raiz2)^2+(-e^-t)^2 =raize^2t+2+e^-2t =e^t+e^-t,
vec vcdotvec a =e^tcdot e^t+raiz2cdot0+(-e^-t)cdot e^-t =e^2t-e^-2t

Passo 4

Usando
aT=vec vcdotvec alvertvec vrvert =e^2t-e^-2t,e^t+e^-t, =e^t-e^-t

Passo 5

Para aN calculamos
lvertvec arvert^2 =(e^t)^2+(e^-t)^2 =e^2t+e^-2t, aT^2=(e^t-e^-t)^2=e^2t-2+e^-2t,
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aN=raizlvertvec arvert^2-aT^2 =raiz(e^2t+e^-2t)-(e^2t-2+e^-2t) =raiz2

Resposta

A componente tangencial da aceleração é
aT=e^t-e^-t,
e a componente normal é
aN=raiz2

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