Considere o seguinte conjunto
com as seguintes operações de soma e multiplicação por escalar:
e
Demonstre quais propriedades de EV esse conjunto não satisfaz.
Passo 1
O exercício pede para testar se com a soma definida por
e a multiplicação por escalar usual
o conjunto V=ℝ² é um espaço vetorial. Vamos verificar as principais axiomas que costumam falhar.
Passo 2
Vamos primeiro ver se existe elemento neutro para a soma. Se houvesse um
tal que
isso exigiria
Passo 3
Sem elemento neutro, também não pode haver inverso aditivo. Mas mesmo tentando achar
tal que
a soma daria
o que pediria
⇒
e
. Assim só o vetor zero (que aliás não é neutro) teria inverso, mas para um espaço vetorial todos precisam ter.
Passo 4
Agora vamos checar a distributividade da multiplicação por escalar sobre a soma de vetores. Pegue
e dois vetores
. O lado esquerdo é
enquanto o lado direito é
$$\alpha(a,b)+\alpha(c,d)=\bigl(\sqrt{(\alpha a)^2+(\alpha c)^2},\sqrt{(\alpha b)^2+(\alpha d)^2}\bigr)
=\bigl(|\alpha|\sqrt{a2+c2},|\alpha|\sqrt{b2+d2}\bigr).
$$
Como quando
, a igualdade falha.
Como
Passo 5
Também falha a outra distributividade, a do escalar sobre soma de escalares: para
qualquer, de um lado
do outro
$$\alpha(a,b)+\beta(a,b)=\bigl(\sqrt{(\alpha a)^2+(\beta a)^2},\sqrt{(\alpha b)^2+(\beta b)^2}\bigr)
=\bigl(|a|\sqrt{\alpha2+\beta2},|b|\sqrt{\alpha2+\beta2}\bigr),$$
que em geral não coincide com .
que em geral não coincide com
Passo 6
Em resumo, embora a soma seja comutativa e associativa e a multiplicação por escalar seja fechada, faltam o elemento neutro, o inverso aditivo e as leis distributivas envolvendo escalar. Esses defeitos impedem V de ser um espaço vetorial.
Resposta
Não satisfaz as seguintes propriedades de espaço vetorial: existência de elemento neutro aditivo, existência de inverso aditivo e as duas leis distributivas da multiplicação por escalar sobre soma de vetores e sobre soma de escalares.