Considere o seguinte conjunto V=(a, b) mid a, b in R com as seguintes operações de soma e multiplicação por escalar:
(a, b)+(c, d)=(raiza^2+c^2, raizb^2+d^2)
e
alpha(a, b)=(alpha a, alpha b)
Demonstre quais propriedades de EV esse conjunto não satisfaz.

Passo 1

O exercício pede para testar se com a soma definida por
(a,b)+(c,d)=l(raiza^2+c^2,;raizb^2+d^2r)
e a multiplicação por escalar usual
alpha(a,b)=(alpha a,alpha b)
o conjunto V=ℝ² é um espaço vetorial. Vamos verificar as principais axiomas que costumam falhar.

Passo 2

Vamos primeiro ver se existe elemento neutro para a soma. Se houvesse um e=(e1,e2) tal que
e+(a,b)=l(raize1^2+a^2,raize2^2+b^2r)=(a,b)forall(a,b),
isso exigiria raize1^2+a^2=a e raize2^2+b^2=b. Da primeira vem e1^2=0, ou seja e1=0, mas raiz0+a^2=|a|, que só é igual a a se a>=0. Logo não há um mesmo neutro para todo a. Concluímos que não existe elemento neutro aditivo.

Passo 3

Sem elemento neutro, também não pode haver inverso aditivo. Mas mesmo tentando achar x=(x1,x2) tal que
(a,b)+x=(0,0),
a soma daria
l(raiza^2+x1^2,raizb^2+x2^2r)=(0,0),
o que pediria raiza^2+x1^2=0 a=0, x1=0 e b=0, x2=0. Assim só o vetor zero (que aliás não é neutro) teria inverso, mas para um espaço vetorial todos precisam ter.

Passo 4

Agora vamos checar a distributividade da multiplicação por escalar sobre a soma de vetores. Pegue alpha<0 e dois vetores (a,b),(c,d). O lado esquerdo é
alphal((a,b)+(c,d)r)=l(alpharaiza^2+c^2,alpharaizb^2+d^2r),
enquanto o lado direito é
$$\alpha(a,b)+\alpha(c,d)=\bigl(\sqrt{(\alpha a)^2+(\alpha c)^2},\sqrt{(\alpha b)^2+(\alpha d)^2}\bigr)
=\bigl(|\alpha|\sqrt{a2+c2},|\alpha|\sqrt{b2+d2}\bigr).
$$
Como alpha(a,b)+alpha(c,d)=l(raiz(alpha a)^2+(alpha c)^2,raiz(alpha b)^2+(alpha d)^2r) =l(|alpha|raiza^2+c^2,|alpha|raizb^2+d^2r) quando alphaneq|alpha|, a igualdade falha.

Passo 5

Também falha a outra distributividade, a do escalar sobre soma de escalares: para alpha,beta qualquer, de um lado
(alpha+beta)(a,b)=l((alpha+beta)a,(alpha+beta)br),
do outro
$$\alpha(a,b)+\beta(a,b)=\bigl(\sqrt{(\alpha a)^2+(\beta a)^2},\sqrt{(\alpha b)^2+(\beta b)^2}\bigr)
=\bigl(|a|\sqrt{\alpha2+\beta2},|b|\sqrt{\alpha2+\beta2}\bigr),$$
que em geral não coincide com alpha(a,b)+beta(a,b)=l(raiz(alpha a)^2+(beta a)^2,raiz(alpha b)^2+(beta b)^2r) =l(|a|raizalpha^2+beta^2,|b|raizalpha^2+beta^2r),.

Passo 6

Em resumo, embora a soma seja comutativa e associativa e a multiplicação por escalar seja fechada, faltam o elemento neutro, o inverso aditivo e as leis distributivas envolvendo escalar. Esses defeitos impedem V de ser um espaço vetorial.

Resposta

Não satisfaz as seguintes propriedades de espaço vetorial: existência de elemento neutro aditivo, existência de inverso aditivo e as duas leis distributivas da multiplicação por escalar sobre soma de vetores e sobre soma de escalares.

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