Usando o eliminação de Gauss (escalonamento), determine a solução ou justifique a sua inexistência. Em seguida, classifique a equação quanto a sua solução.
3 x-6 y-3 z & =6 2 x-4 y-2 z & =4 x+z & =2

Passo 1

Resumimos o enunciado: resolver o sistema
3x - 6y - 3z = 6 2x - 4y - 2z = 4 x + z = 2
usando eliminação de Gauss (escalonamento) para encontrar todas as soluções e classificar o sistema.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada do sistema:
3 & -6 & -3 & | & 6 2 & -4 & -2 & | & 4 1 & 0 & 1 & | & 2

Passo 3

Para facilitar, trocamos a linha 1 com a linha 3, colocando o pivô 1 em cima:
1 & 0 & 1 & | & 2 2 & -4 & -2 & | & 4 3 & -6 & -3 & | & 6

Passo 4

Eliminamos a variável x das linhas 2 e 3:
Aplicando L₂ → L₂ − 2·L₁ e L₃ → L₃ − 3·L₁, obtemos
1 & 0 & 1 & | & 2 0 & -4 & -4 & | & 0 0 & -6 & -6 & | & 0

Passo 5

Escalonamos a segunda linha dividindo por -4 para obter pivô 1 e eliminamos y da terceira linha:
L2to1-4L2, L3toL3+6L2
resultando em
1 & 0 & 1 & | & 2 0 & 1 & 1 & | & 0 0 & 0 & 0 & | & 0

Passo 6

A partir da forma escalonada final vemos que há 2 pivôs para 3 incógnitas, ou seja, uma variável livre. Definimos z = t. Da segunda linha vem y + z = 0 ⇒ y = −t, e da primeira vem x + z = 2 ⇒ x = 2 − t.

Resposta

A solução geral é
(x,y,z) = (2 - t, - t, t), t in R
O sistema é compatível indeterminado (infinitas soluções).

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