Determine se os conjuntos dados abaixo são subespaços de :
e

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto W = (x,y)in R^2mid y=-x é um subespaço do espaço vetorial V= R^2. O conteúdo aqui é teste de subespaço: precisamos mostrar que W não é vazio, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar.

Passo 2

Primeiro, vemos se o vetor zero está em W. O vetor zero em R^2 é (0,0). Substituindo em y=-x temos 0 = -0, que é verdade. Logo, (0,0)in W, ou seja, W não é vazio.

Passo 3

Agora, testamos a soma de dois vetores quaisquer de W. Se (x1,y1) e (x2,y2) estão em W, então y1=-x1 e y2=-x2. A soma é (x1+x2,,y1+y2). Então
y1 + y2 = (-x1) + (-x2) = -(x1 + x2),
logo (x1+x2,,y1+y2) também satisfaz y = -x e fica em W. Assim, W é fechado sob soma.

Passo 4

Por fim, pegamos um escalar lambdain R e um vetor (x,y)in W, onde y=-x. Multiplicando:
(lambda x,,lambda y) = (lambda x,,lambda(-x)) = (lambda x,,-lambda x)
Isso mostra que lambda(x,y) também satisfaz a equação y=-x e, portanto, está em W. Logo, W é fechado sob multiplicação escalar.

Resposta

O conjunto W é subespaço de R^2.

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