Identifique quais dos produtos abaixo definem um produto interno em
:
b)
;
b)
Passo 1
O enunciado pergunta se a aplicação
é um produto interno em . Para isso, precisamos verificar três propriedades principais:
é um produto interno em
- Bilinearidade (linearidade em cada argumento).
- Simetria (
). - Positividade definida (
para todo ).
Passo 2
Verificamos bilinearidade e simetria de forma direta:
- Cada termo é do tipo constante vezes
, portanto é linear em quando está fixo, e vice-versa. - Como
e , temos .
Logo, as propriedades de bilinearidade e simetria estão satisfeitas.
Passo 3
Agora testamos a positividade definida, calculando
Para que seja produto interno, deveríamos ter
sempre que
. Mas, por exemplo, tomando
,
o que contradiz a exigência de positividade.
Resposta
A aplicação dada não define um produto interno em
.