Identifique quais dos produtos abaixo definem um produto interno em R^2 :
b) lang<=(x1, x2),(y1, y2)rang<==-2 x1 y1+3 x2 y2;

Passo 1

O enunciado pergunta se a aplicação
lang<= (x1,x2),(y1,y2)rang<= = -2x1y1 + 3x2y2
é um produto interno em R^2. Para isso, precisamos verificar três propriedades principais:
  1. Bilinearidade (linearidade em cada argumento).
  2. Simetria ( lang<= u,vrang<= = lang<= v,urang<=).
  3. Positividade definida ( lang<= v,vrang<=>0 para todo vneq(0,0)).

Passo 2

Verificamos bilinearidade e simetria de forma direta:
  • Cada termo é do tipo constante vezes xi yi, portanto é linear em (x1,x2) quando (y1,y2) está fixo, e vice-versa.
  • Como -2x1y1 = -2y1x1 e 3x2y2=3y2x2, temos lang<= u,vrang<==lang<= v,urang<=.
Logo, as propriedades de bilinearidade e simetria estão satisfeitas.

Passo 3

Agora testamos a positividade definida, calculando
lang<= v,vrang<= = -2x1^2 + 3x2^2
Para que seja produto interno, deveríamos ter lang<= v,vrang<=>0 sempre que vneq(0,0). Mas, por exemplo, tomando v=(1,0),
lang<= (1,0),(1,0)rang<= = -2cdot1^2 + 3cdot0^2 = -2 < 0,
o que contradiz a exigência de positividade.

Resposta

A aplicação dada não define um produto interno em R^2.

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