Diagonalize ortogonalmente as matrizes abaixo
(f) [cc1 & raiz2 raiz2 & 0]

Passo 1

O enunciado pede para diagonalizar ortogonalmente a matriz
1 & raiz2[6pt]raiz2 & 0
Estamos em Álgebra Linear, no tópico de diagonalização de matrizes simétricas, onde sabemos que toda matriz real simétrica admite uma base ortonormal de autovetores, isto é, existe matriz ortogonal P tal que
P^TAP=D
é diagonal.]

Passo 2

Para encontrar os autovalores, montamos o polinômio característico
detl(A-lambda Ir) =det1-lambda & raiz2[4pt]raiz2 & -lambda =(1-lambda)(-lambda)-(raiz2)^2 =lambda^2-lambda-2
Resolvendo lambda^2-lambda-2=0 obtemos
lambda1,2=1pmraiz1+82=1pm32,
logo
lambda1=2 e lambda2=-1.]

Passo 3

Agora achamos os autovetores.
Para resolvemos , ou seja
Da primeira linha vem . Tomando dá o autovetor
Para resolvemos , ou seja
Da primeira linha vem . Tomando
]

Passo 4

Precisamos normalizar esses vetores para obter uma base ortonormal.
Calculamos as normas:
|v1|=raiz(raiz2)^2+1^2=raiz3, |v2|=raiz1^2+(raiz2)^2=raiz3
Assim os vetores unitários são
u1=1raiz3raiz21, u2=1raiz31-raiz2
Formamos a matriz de mudança de base ortogonal
P=l[u1;u2r] = raiz2raiz3 & 1raiz3[6pt] 1raiz3 & -raiz2raiz3 ,
e a matriz diagonal dos autovalores
D=2&0[4pt]0&-1 ]

Resposta

A diagonalização ortogonal é dada por
P^TAP=D,
once
P= raiz2raiz3 & 1raiz3[6pt] 1raiz3 & -raiz2raiz3 , D=2&0[4pt]0&-1 ]

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