Considere o seguinte conjunto X=\{p \in \mathbb{N} ; n<p<n+1\} para todo n \in \mathbb{N}. Mostre que X=\emptyset.

Passo 1

Resumindo o enunciado: para um dado n\in\mathbb{N} definimos
X=\{\,p\in\mathbb{N}\mid n<p<n+1\}.
Queremos mostrar que não existe inteiro natural p estritamente entre n e n+1, logo X é vazio.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que exista um p\in X. Então temos
n<p<n+1.

Passo 3

Como n e p são naturais, a desigualdade n<p implica
p\ge n+1,
enquanto p<n+1 implica
p\le n.
Assim obteríamos
n+1\le p\le n,
o que é impossível em \mathbb{N}.

Passo 4

Essa contradição mostra que não pode existir p\in X. Portanto
X=\emptyset.

Resposta

X=\emptyset

Exercícios relacionados