Seja
um conjunto não vazio tal que inf
. Defnina
, mostre que
é limitado superiormente e
.
Passo 1
O enunciado dá um subconjunto não vazio
com
e define
Queremos mostrar que
é limitado superiormente e que
O conteúdo envolvido é supremum, ínfimo e a propriedade de que a função
é decrescente para
.
Passo 2
Seja
então
. Como
é ínfimo de
, todo
satisfaz
. Como
, ao inverter obtemos
Logo
é um majorante de
, e portanto
é limitado superiormente.
Passo 3
Para mostrar que
é o menor majorante de
, seja
qualquer majorante de
. Então, para todo
,
Como
, ao inverter esta desigualdade deduzimos
isto é,
é uma cota inferior de
. Logo
Isto mostra que qualquer majorante
de
satisfaz
, de modo que
é o menor majorante, i.e.,