Seja A \subset \mathbb{R} um conjunto não vazio tal que inf A>0. Defnina B=\left\{\frac{1}{x} ; x \in A\right\}, mostre que B é limitado superiormente e \sup B=\frac{1}{\inf A}.

Passo 1

O enunciado dá um subconjunto não vazio A\subset\mathbb{R} com \inf A>0 e define
B=\{1/x : x\in A\}.
Queremos mostrar que B é limitado superiormente e que
\sup B = \frac{1}{\inf A}.
O conteúdo envolvido é supremum, ínfimo e a propriedade de que a função f(x)=1/x é decrescente para x>0.

Passo 2

Seja
m = \inf A,
então m>0. Como m é ínfimo de A, todo x\in A satisfaz x\ge m. Como x>0, ao inverter obtemos
\frac{1}{x}\le \frac{1}{m}.
Logo \tfrac1m é um majorante de B, e portanto B é limitado superiormente.

Passo 3

Para mostrar que \tfrac1m é o menor majorante de B, seja u qualquer majorante de B. Então, para todo x\in A,
u \ge \frac1x.
Como u>0, ao inverter esta desigualdade deduzimos
\frac1u \le x,\quad\forall x\in A,
isto é, \tfrac1u é uma cota inferior de A. Logo
\frac1u \le \inf A = m \quad\Longrightarrow\quad u \ge \frac1m.
Isto mostra que qualquer majorante u de B satisfaz u\ge1/m, de modo que \tfrac1m é o menor majorante, i.e.,
\sup B = \frac1m = \frac{1}{\inf A}.

Resposta

B é limitado superiormente e
\sup B = \frac{1}{\inf A}.

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