Mostre que, para todo número real
tem-se
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um real
,
Vamos usar noções de interseção de conjuntos e a propriedade arquimediana dos reais, que diz que, para quaisquer
, existe
tal que
.
Passo 2
Suponha, por contradição, que existe
em
.
Isso significa que, para todo :
Isso significa que, para todo
-
. -
.
Passo 3
Como
e
, aplicamos a propriedade arquimediana a
e
: existe
tal que
Dessa desigualdade segue
o que contradiz a segunda condição
. Logo não pode existir tal
.
Passo 4
Concluímos que não há ponto em comum a todos os intervalos
. Portanto a interseção é vazia.