Mostre que, para todo número real y>0 tem-se \bigcap_{n \in \mathbb{N}}\left(0, \frac{y}{n}\right]=\emptyset.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um real y>0,
\bigcap_{n\in\mathbb{N}}\bigl(0,\tfrac{y}{n}\bigr]=\emptyset.
Vamos usar noções de interseção de conjuntos e a propriedade arquimediana dos reais, que diz que, para quaisquer a,b>0, existe n\in\mathbb{N} tal que n>\tfrac{b}{a}.

Passo 2

Suponha, por contradição, que existe x em \displaystyle\bigcap_{n\in\mathbb{N}}\bigl(0,\tfrac{y}{n}\bigr].
Isso significa que, para todo n\in\mathbb{N}:
  1. x>0.
  2. x\le\tfrac{y}{n}.

Passo 3

Como x>0 e y>0, aplicamos a propriedade arquimediana a a=x e b=y: existe N\in\mathbb{N} tal que
N>\frac{y}{x}.
Dessa desigualdade segue
\frac{y}{N}<x,
o que contradiz a segunda condição x\le\tfrac{y}{N}. Logo não pode existir tal x.

Passo 4

Concluímos que não há ponto em comum a todos os intervalos \bigl(0,\tfrac{y}{n}\bigr]. Portanto a interseção é vazia.

Resposta

\emptyset

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