Considere a seguinte curva paramétrica.
x=3 cos (t), y=3 sen(t), z=4 t, 0 <= t <= pi
Esta curva é lisa? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar se uma curva paramétrica é lisa. Estamos trabalhando com curvas no espaço 3D, e para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma curva ser lisa e verificar isso para a curva dada pelas equações:
x=3 cos (t), y=3 sen(t), z=4 t, 0 <= t <= pi

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma curva ser lisa. Uma curva é considerada lisa se ela for diferenciável em todo o seu domínio e se a sua derivada nunca for o vetor zero nesse intervalo. Isso basicamente significa que a curva não tem “pontas agudas” ou “interrupções” e está sempre “suave”.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas das funções paramétricas em relação a t . Isso nos dará o vetor velocidade da curva, que precisa ser diferente de zero em todo o intervalo para a curva ser lisa.
As derivadas são:
dxdt = -3 sin(t),
dydt = 3 cos(t),
dzdt = 4

Passo 4

Em seguida, vamos formar o vetor derivada v(t) com essas componentes:
v(t) = ( dxdt, dydt, dzdt ) = ( -3 sin(t), , 3 cos(t), , 4 )

Passo 5

Para garantir que a curva é lisa, precisamos verificar se esse vetor nunca é o vetor zero no intervalo 0 <= t <= pi . Ou seja, precisamos checar se não existe nenhum valor de t nesse intervalo que faça todas as componentes de v(t) serem zero ao mesmo tempo.

Passo 6

Analisando as componentes:
  • A componente dzdt = 4 é sempre igual a 4, independentemente de t .
  • Já as outras componentes -3 sin(t) e 3 cos(t) variam com t , mas como dzdt nunca é zero, o vetor derivada nunca será o vetor zero completo.

Passo 7

Além disso, as funções seno e cosseno são contínuas e deriváveis em todo o intervalo considerado, o que garante que o vetor derivada v(t) também é contínuo nesse intervalo.

Resposta

Sim, a curva é lisa porque a derivada é contínua e nunca é o vetor zero no intervalo 0 <= t <= pi .

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