Considere a seguinte curva paramétrica.
Esta curva é lisa? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar se uma curva paramétrica é lisa. Estamos trabalhando com curvas no espaço 3D, e para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma curva ser lisa e verificar isso para a curva dada pelas equações:
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma curva ser lisa. Uma curva é considerada lisa se ela for diferenciável em todo o seu domínio e se a sua derivada nunca for o vetor zero nesse intervalo. Isso basicamente significa que a curva não tem “pontas agudas” ou “interrupções” e está sempre “suave”.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas das funções paramétricas em relação a
. Isso nos dará o vetor velocidade da curva, que precisa ser diferente de zero em todo o intervalo para a curva ser lisa.
As derivadas são:
Passo 4
Em seguida, vamos formar o vetor derivada
com essas componentes:
Passo 5
Para garantir que a curva é lisa, precisamos verificar se esse vetor nunca é o vetor zero no intervalo
. Ou seja, precisamos checar se não existe nenhum valor de
nesse intervalo que faça todas as componentes de
serem zero ao mesmo tempo.
Passo 6
Analisando as componentes:
- A componente
é sempre igual a 4, independentemente de . - Já as outras componentes
e variam com , mas como nunca é zero, o vetor derivada nunca será o vetor zero completo.
Passo 7
Além disso, as funções seno e cosseno são contínuas e deriváveis em todo o intervalo considerado, o que garante que o vetor derivada
também é contínuo nesse intervalo.
Resposta
Sim, a curva é lisa porque a derivada é contínua e nunca é o vetor zero no intervalo
.