Seja
. Determine
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício que envolve cálculo vetorial, especificamente derivadas e limites. A gente vai precisar entender o que é um vetor função, como derivar vetores e calcular o limite de um produto escalar. Então, nosso objetivo aqui é encontrar o limite quando
se aproxima de 0 da expressão
, onde
é um vetor função.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é
. No exercício, temos:
Aqui,
,
e
são os vetores unitários nas direções x, y e z, respectivamente.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
, que é
. A derivada de um vetor função é obtida derivando componente a componente. Então, vamos derivar cada parte de
:
Derivando cada termo:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto escalar
. O produto escalar de dois vetores
e
é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores
e
:
Simplificando:
Passo 5
Finalmente, queremos encontrar o limite dessa expressão quando
se aproxima de 0:
Resposta
O limite
é igual a 0.