Seja r(t)=cos (t) i+sen(t) j+k. Determine
lim t 0(r(t) cdot r^prime(t))

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício que envolve cálculo vetorial, especificamente derivadas e limites. A gente vai precisar entender o que é um vetor função, como derivar vetores e calcular o limite de um produto escalar. Então, nosso objetivo aqui é encontrar o limite quando t se aproxima de 0 da expressão r(t) cdot r^prime(t) , onde r(t) é um vetor função.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é r(t) . No exercício, temos:
r(t) = cos(t) , i + sin(t) , j + k
Aqui, i , j e k são os vetores unitários nas direções x, y e z, respectivamente.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de r(t) , que é r^prime(t) . A derivada de um vetor função é obtida derivando componente a componente. Então, vamos derivar cada parte de r(t) :
r^prime(t) = ddt [ cos(t) , i + sin(t) , j + k ]
Derivando cada termo:
r^prime(t) = -sin(t) , i + cos(t) , j + 0 , k
Simplificando:
r^prime(t) = -sin(t) , i + cos(t) , j

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar r(t) cdot r^prime(t) . O produto escalar de dois vetores A = a1 , i + a2 , j + a3 , k e B = b1 , i + b2 , j + b3 , k é dado por:
A cdot B = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3
Aplicando isso aos nossos vetores r(t) e r^prime(t) :
r(t) cdot r^prime(t) = cos(t) cdot (-sin(t)) + sin(t) cdot cos(t) + 1 cdot 0
Simplificando:
r(t) cdot r^prime(t) = -cos(t)sin(t) + cos(t)sin(t) + 0 = 0

Passo 5

Finalmente, queremos encontrar o limite dessa expressão quando t se aproxima de 0:
limt to 0 ( r(t) cdot r^prime(t) ) = limt to 0 0 = 0

Resposta

O limite limt to 0 ( r(t) cdot r^prime(t) ) é igual a 0.

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