Encontre o valor da integral
integral0^1(e^-t i+e^t j+3 t^2) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que envolve vetores! O enunciado pede para calcular a integral de e^-t i + e^t j + 3 t^2 de t = 0 até t = 1 . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrando funções vetoriais. Para resolver isso, vamos integrar cada componente do vetor separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a componente na direção i , que é e^-t . A integral de e^-t em relação a t é bem direta. Sabemos que:
integral e^-t dt = -e^-t + C
onde C é a constante de integração, que vamos ignorar já que estamos fazendo uma integral definida.

Passo 3

Agora, vamos integrar a componente na direção j , que é e^t . A integral de e^t em relação a t também é simples:
integral e^t dt = e^t + C
Mais uma vez, descartamos a constante de integração.

Passo 4

Por último, vamos integrar a componente escalar 3 t^2 . A integral de 3 t^2 em relação a t é:
integral 3 t^2 dt = t^3 + C
Ignoramos a constante C porque estamos fazendo uma integral definida.

Passo 5

Agora, vamos aplicar os limites de integração, que são de 0 a 1 , em cada uma das integrais que calculamos:
  • Para a componente i :
- e^-t |0^1 = -e^-1 - (-e^0) = -1e + 1
  • Para a componente j :
e^t |0^1 = e^1 - e^0 = e - 1
  • Para a componente escalar:
t^3 |0^1 = 1^3 - 0^3 = 1 - 0 = 1

Resposta

A integral calculada resulta em:
(1 - 1e) i + (e - 1) j + 1

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