Esboce a região R delimitada pelas curvas e em seguida calcule o volume dos sólidos de revolução obtidos quando giramos a região R entre y=x^3 e y=x em torno do eixo y.

Passo 1

O enunciado pede a região R limitada pelas curvas
y = x^3
e
y = x
e o volume do sólido gerado ao girar R em torno do eixo y. O conteúdo aqui envolve identificar pontos de interseção, esboçar a região e usar o método das cascas cilíndricas para calcular o volume.

Passo 2

Encontramos as interseções resolvendo
x^3 = x,
ou seja
x(x^2 - 1) = 0 Longrightarrow x = -1,,0,,1
Os pontos de interseção são (-1,-1), (0,0) e (1,1).

Passo 3

No plano xy, para xin[0,1] temos x^3 <= x, logo a curva superior é y = x e a inferior é y = x^3. Para xin[-1,0] inverte-se a ordem, mas a região é simétrica em relação à origem. Esboçando, obtemos um “arco” entre -1 e 1, encurvado pela cúbica e pela reta.

Passo 4

Como giramos em torno de y, escolhemos o método das cascas cilíndricas. A fórmula é
V = 2pi integrala^b l(raior),l(a<urar),dx,
onde o raio é x (distância até o eixo y) e a altura é a diferença yrm topo-yrm fundo.

Passo 5

Em xin[0,1]:
a<ura h(x) = x - x^3
Em xin[-1,0]:
h(x) = x^3 - x
Por simetria, o volume total é o dobro do volume de xin[0,1]:
V = 2;l[,2pi integral0^1 x,(x - x^3),dxr] = 4pi integral0^1 l(x^2 - x^4r),dx

Passo 6

Calculemos a integral:
integral0^1 (x^2 - x^4),dx = [x^33 - x^55]0^1 = 13 - 15 = 215
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V = 4pi cdot 215 = 8pi15

Resposta

V = 8pi15

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