Use a Regra da Cadeia para obter partial z / partial u, partial z / partial v e partial z / partial w, sendo z= x^2+x y^3, x=u v^2+w^3 e y=u+v e^w para u=v=1 e w=0.

Passo 1

O enunciado pede para usarmos a regra da cadeia em
z = x^2 + x,y^3, x = u,v^2 + w^3, y = u + v,e^w
e calcular partial z/partial u, partial z/partial v e partial z/partial w no ponto (u,v,w)=(1,1,0). O conteúdo principal aqui é derivadas parciais e a aplicação da regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Vamos achar primeiro as derivadas parciais de z em relação a x e y. Como
z = x^2 + x,y^3,
temos
partial zpartial x = 2x + y^3, partial zpartial y = 3x,y^2

Passo 3

Agora derivamos x e y em relação a u, v e w.
Como x = u,v^2 + w^3,
xu = v^2, xv = 2u,v, xw = 3w^2
E como y = u + v,e^w,
yu = 1, yv = e^w, yw = v,e^w

Passo 4

Pela regra da cadeia, escrevemos
partial zpartial u = zx,xu + zy,yu, partial zpartial v = zx,xv + zy,yv, partial zpartial w = zx,xw + zy,yw

Passo 5

Precisamos avaliar tudo em u=1, v=1, w=0. Primeiro calculemos
x(1,1,0) = 1cdot1^2 + 0^3 = 1, y(1,1,0) = 1 + 1cdot e^0 = 2
Então
zxl|(1,1,0) = 2cdot1 + 2^3 = 2 + 8 = 10, zyl|(1,1,0) = 3cdot1cdot2^2 = 3cdot4 = 12
E as derivadas de x e y no ponto são
xu=1^2=1,; xv=2cdot1cdot1=2,; xw=3cdot0^2=0, yu=1,; yv=e^0=1,; yw=1cdot e^0=1

Passo 6

Substituindo na regra da cadeia, obtemos
partial zpartial u = 10cdot1 + 12cdot1 = 22,
partial zpartial v = 10cdot2 + 12cdot1 = 20 + 12 = 32,
partial zpartial w = 10cdot0 + 12cdot1 = 12

Resposta

partial zpartial u(1,1,0) = 22, partial zpartial v(1,1,0) = 32, partial zpartial w(1,1,0) = 12

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