Considere a seguinte curva paramétrica.
Encontre o comprimento de arco
desta curva.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva parametrizada pelas equações
,
e
, onde
varia de
até
. Nosso objetivo é encontrar o comprimento dessa curva, ou seja, o comprimento do arco
. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, mais especificamente o conceito de comprimento de arco para curvas parametrizadas no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma curva parametrizada por
. Se temos
,
e
, o comprimento de arco
de
até
é dado por:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
,
e
em relação a
:
Passo 4
Em seguida, vamos elevar cada uma dessas derivadas ao quadrado:
Passo 5
Agora, somamos esses valores dentro da raiz da fórmula do comprimento de arco:
Observe que
(uma identidade trigonométrica), então a expressão fica:
Passo 6
Com a expressão simplificada, o comprimento de arco fica:
Resposta
O comprimento de arco da curva é
.