Considere a seguinte curva paramétrica.
x=3 cos (t), y=3 sen(t), z=4 t, 0 <= t <= pi
Encontre o comprimento de arco L desta curva.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva parametrizada pelas equações x = 3 cos(t) , y = 3 sin(t) e z = 4t , onde t varia de 0 até pi . Nosso objetivo é encontrar o comprimento dessa curva, ou seja, o comprimento do arco L . Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, mais especificamente o conceito de comprimento de arco para curvas parametrizadas no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma curva parametrizada por t . Se temos x(t) , y(t) e z(t) , o comprimento de arco L de t = a até t = b é dado por:
L = integrala^b raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 + (dzdt)^2 , dt

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de x(t) , y(t) e z(t) em relação a t :
dxdt = ddt [3 cos(t)] = -3 sin(t)
dydt = ddt [3 sin(t)] = 3 cos(t)
dzdt = ddt [4t] = 4

Passo 4

Em seguida, vamos elevar cada uma dessas derivadas ao quadrado:
(dxdt)^2 = (-3 sin(t))^2 = 9 sin^2(t)
(dydt)^2 = (3 cos(t))^2 = 9 cos^2(t)
(dzdt)^2 = (4)^2 = 16

Passo 5

Agora, somamos esses valores dentro da raiz da fórmula do comprimento de arco:
raiz9 sin^2(t) + 9 cos^2(t) + 16
Observe que sin^2(t) + cos^2(t) = 1 (uma identidade trigonométrica), então a expressão fica:
raiz9(1) + 16 = raiz9 + 16 = raiz25 = 5

Passo 6

Com a expressão simplificada, o comprimento de arco fica:
L = integral0^pi 5 , dt = 5 integral0^pi dt = 5 [t]0^pi = 5 (pi - 0) = 5pi

Resposta

O comprimento de arco da curva é L = 5pi .

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