Esboce a região R delimitada pelas curvas e em seguida calcule o volume dos sólidos de revolução obtidos quando giramos a região R entre y=x3+1, y=x-1 e x+y=1 em torno da reta y=4.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta y=4 da região R limitada pelas retas
y=x3+1, y=x-1, x+y=1
Este é um problema de sólidos de revolução; vamos usar o método das arruelas, integrando em x.

Passo 2

Primeiro achamos os pontos de interseção para identificar os vértices de R.
  1. x3+1=x-1 x=3, y=2.
  2. x-1=1-x (isto é, y=x-1 com x+y=1) dá x=1, y=0.
  3. x3+1=1-x x=0, y=1.
    Logo os vértices são (0,1),(1,0),(3,2).

Passo 3

Em x o segmento vertical de R tem como curva superior ysup(x)=x3+1 e inferior, dependendo de x,
  • para 0<= x<=1: yinf(x)=1-x,
  • para 1<= x<=3: yinf(x)=x-1.
    Ao girar em torno de y=4, o raio externo é
Rrm ext(x)=4-yinf(x),
e o interno é
Rrm int(x)=4-ysup(x)

Passo 4

O volume é
V=integral0^3pil[Rrm ext(x)^2-Rrm int(x)^2r],dx =integral0^1pil[(4-(1-x))^2-(4-(tfracx3+1))^2r]dx +integral1^3pil[(4-(x-1))^2-(4-(tfracx3+1))^2r]dx

Passo 5

No intervalo 0<= x<=1 calculamos
(4-(1-x))^2=(3+x)^2, (4-(tfracx3+1))^2=(3-tfracx3)^2,
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V1 =integral0^1pil[(3+x)^2-(3-tfracx3)^2r]dx =integral0^1pil(8x+tfrac89x^2r)dx =116pi27

Passo 6

No intervalo 1<= x<=3 temos
(4-(x-1))^2=(5-x)^2, (4-(tfracx3+1))^2=(3-tfracx3)^2,
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V2 =integral1^3pil[(5-x)^2-(3-tfracx3)^2r]dx =208pi27

Passo 7

Somando as duas partes,
V=V1+V2=116pi27+208pi27 =324pi27=12pi

Resposta

V=12pi

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