Lembre-se que o cosseno do ângulo
entre dois vetores
é dado por
Determine os pontos nos quais a curva
intersecta o plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos onde a curva dada por
cruza o plano definido pela equação
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como equações paramétricas de curvas e equações de planos. Vamos precisar substituir as coordenadas da curva na equação do plano e resolver para o parâmetro
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva
. Isso significa que as coordenadas
da curva são dadas por:
Essas são as equações paramétricas da curva.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a equação do plano:
. Queremos encontrar os valores de
que fazem com que os pontos da curva também estejam nesse plano. Para isso, vamos substituir
pelas expressões em termos de
.
Passo 4
Substituindo as coordenadas na equação do plano:
Simplificando isso:
Que fica:
Passo 5
Agora, temos uma equação quadrática em
:
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de
. É mais fácil multiplicar toda a equação por -1 para simplificar:
Passo 6
Para resolver
, podemos usar a fórmula de Bhaskara. A fórmula geral para resolver
é:
Aqui,
,
, e
.
Passo 7
Calculando o discriminante (
):
Como
, temos duas soluções reais.
Passo 8
Aplicando a fórmula:
Então, as soluções são:
Passo 9
Agora, vamos encontrar as coordenadas
para cada valor de
.
Para
:
Então, o ponto é
.
Para
:
Então, o ponto é
.
Resposta
A curva intersecta o plano nos pontos
e
.