Lembre-se que o cosseno do ângulo theta entre dois vetores u e v é dado por
cos (theta)=u cdot v|u||v|
Determine os pontos nos quais a curva
r(t)=t i+t^2 j-3 t k
intersecta o plano 2 x-y+z+2=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos onde a curva dada por r(t) = t, i + t^2, j - 3t, k cruza o plano definido pela equação 2x - y + z + 2 = 0 . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como equações paramétricas de curvas e equações de planos. Vamos precisar substituir as coordenadas da curva na equação do plano e resolver para o parâmetro t .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva r(t) = t, i + t^2, j - 3t, k . Isso significa que as coordenadas x, y, z da curva são dadas por:
x = t, y = t^2, z = -3t
Essas são as equações paramétricas da curva.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a equação do plano: 2x - y + z + 2 = 0 . Queremos encontrar os valores de t que fazem com que os pontos da curva também estejam nesse plano. Para isso, vamos substituir x, y, z pelas expressões em termos de t .

Passo 4

Substituindo as coordenadas na equação do plano:
2(t) - (t^2) + (-3t) + 2 = 0
Simplificando isso:
2t - t^2 - 3t + 2 = 0
Que fica:
-t^2 - t + 2 = 0

Passo 5

Agora, temos uma equação quadrática em t :
-t^2 - t + 2 = 0
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de t . É mais fácil multiplicar toda a equação por -1 para simplificar:
t^2 + t - 2 = 0

Passo 6

Para resolver t^2 + t - 2 = 0 , podemos usar a fórmula de Bhaskara. A fórmula geral para resolver at^2 + bt + c = 0 é:
t = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, a = 1 , b = 1 , e c = -2 .

Passo 7

Calculando o discriminante ( De<a ):
De<a = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9
Como De<a > 0 , temos duas soluções reais.

Passo 8

Aplicando a fórmula:
t = -1 pm raiz92 times 1 = -1 pm 32
Então, as soluções são:
t = 22 = 1 e t = -42 = -2

Passo 9

Agora, vamos encontrar as coordenadas x, y, z para cada valor de t .
Para t = 1 :
x = 1, y = 1^2 = 1, z = -3(1) = -3
Então, o ponto é (1, 1, -3) .
Para t = -2 :
x = -2, y = (-2)^2 = 4, z = -3(-2) = 6
Então, o ponto é (-2, 4, 6) .

Resposta

A curva intersecta o plano nos pontos (1, 1, -3) e (-2, 4, 6) .

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