Considere a seguinte distribuição de frequência dos tempos de experiência profissional de 36 empregados de uma empresa:
Classes f_{i}
4 \mid-8 10
8 \mid-12 12
12 \mid-16 8
16 \mid-20 5
20 \mid-24 1
\Sigma 36
Calcule o 2^{\circ} quartil e interprete o resultado

Passo 1

O enunciado dá uma distribuição de frequência com 36 empregados, organizada em classes de tempo de experiência e suas frequências absolutas. Pede-se o 2^{\circ} quartil (ou seja, o segundo quartil). Dados fornecidos:
  • Classes e frequências f_i:
    • 4\mid-8:\; f_1=10
    • 8\mid-12:\; f_2=12
    • 12\mid-16:\; f_3=8
    • 16\mid-20:\; f_4=5
    • 20\mid-24:\; f_5=1
  • Total: \displaystyle n=\sum f_i=36
O que é pedido: calcular o 2^{\circ} quartil (isto é, o valor central que divide a população ao meio) e interpretar o resultado.

Passo 2

O que é o 2^{\circ} quartil e como proceder com dados agrupados.
  • O 2^{\circ} quartil Q_2 é a mediana: o valor que deixa metade (50%) das observações abaixo e metade acima.
  • Com dados agrupados em classes, não se conhece cada observação individual; usa-se interpolação linear dentro da classe que contém a mediana (a chamada classe mediana).
  • A ideia: localizar a classe onde está a observação de ordem \dfrac{n}{2} e interpolar assumindo distribuição uniforme das observações dentro dessa classe.

Passo 3

Calcular as frequências acumuladas para localizar a classe mediana.
  • Frequências cumuladas (somando as frequências de cima para baixo):
    • Após a 1ª classe ( 4\mid-8): F_1=10
    • Após a 2ª classe ( 8\mid-12): F_2=10+12=22
    • Após a 3ª classe ( 12\mid-16): F_3=22+8=30
    • Após a 4ª classe ( 16\mid-20): F_4=30+5=35
    • Após a 5ª classe ( 20\mid-24): F_5=35+1=36

Passo 4

Determinar a posição da mediana e a classe mediana.
  • Posição da mediana em termos de ordem: \dfrac{n}{2}=\dfrac{36}{2}=18.
  • Procurar a primeira frequência acumulada \ge 18: F_1=10<18 e F_2=22\ge 18. Logo a mediana está na 2ª classe, isto é, na classe 8\mid-12.
  • Identificar os parâmetros da classe mediana:
    • limite inferior da classe: L=8
    • amplitude da classe: h=12-8=4
    • frequência da classe mediana: f_m=12
    • frequência acumulada antes da classe mediana: F=F_1=10 (frequências das classes anteriores)

Passo 5

Apresentar e explicar a fórmula de interpolação para Q_2.
  • Fórmula usada (interpolação linear dentro da classe):
Q_2 = L + \frac{\frac{n}{2}-F}{f_m}\,h.
  • O que cada símbolo significa:
    • Q_2: segundo quartil (mediana estimada)
    • L: limite inferior da classe mediana
    • n: total de observações
    • F: frequência acumulada antes da classe mediana
    • f_m: frequência da classe mediana
    • h: amplitude (largura) da classe
  • Justificativa curta: \dfrac{n}{2}-F é o número de observações que faltam para alcançar a mediana dentro da classe; a fração \dfrac{\frac{n}{2}-F}{f_m} dá a proporção dessa classe até a mediana; multiplicando por h obtemos a distância dentro da classe a partir do limite inferior.

Passo 6

Calcular Q_2 substituindo os valores conhecidos.
  • Primeiro calcule cada termo:
    • \dfrac{n}{2}=18
    • \dfrac{n}{2}-F=18-10=8
    • \dfrac{\frac{n}{2}-F}{f_m}=\dfrac{8}{12}=\dfrac{2}{3}
    • \dfrac{2}{3}\,h=\dfrac{2}{3}\cdot 4=\dfrac{8}{3}
  • Agora aplique a fórmula:
Q_2 = L + \frac{\frac{n}{2}-F}{f_m}\,h = 8 + \dfrac{8}{3} = 8 + 2{,}666\ldots = 10{,}666\ldots
  • Arredondando para duas casas decimais: Q_2 \approx 10{,}67.

Passo 7

Interpretação do resultado e observações práticas.
  • Interpretação: o 2^{\circ} quartil estimado é aproximadamente 10{,}67. Isso significa que, segundo a interpolação na distribuição agrupada, cerca de 50\% dos empregados têm tempo de experiência menor ou igual a aproximadamente 10{,}67 (unidade das classes — presumivelmente anos) e os outros 50\% têm tempo maior ou igual a esse valor.
  • Observação sobre a técnica: trata-se de uma estimativa porque os dados estão agrupados; assumiu-se distribuição uniforme das observações dentro da classe 8\mid-12. Em dados não agrupados a mediana poderia ser calculada exatamente listando as observações.

Resposta

Q_2 \approx 10{,}67 (anos)

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