Considere a seguinte distribuição de frequência dos tempos de experiência profissional de 36 empregados de uma empresa:
Classes f_{i}
4 \mid-8 10
8 \mid-12 12
12 \mid-16 8
16 \mid-20 5
20 \mid-24 1
\Sigma 36
Calcule o 8^{\circ} decil e interprete o resultado

Passo 1

O enunciado pede para calcular o 8^{\circ} decil e interpretar o resultado. Dados fornecidos (frequências por classes, peguei estes números do enunciado):
  • Classes e frequências f_i:
    • 4\mid-8:\; f_1=10
    • 8\mid-12:\; f_2=12
    • 12\mid-16:\; f_3=8
    • 16\mid-20:\; f_4=5
    • 20\mid-24:\; f_5=1
  • Total de observações: \sum f_i = n = 36.

Passo 2

Entender o que é o 8^{\circ} decil. Um decil D_k é o valor abaixo do qual se encontra uma fração k/10 dos dados. Assim, o 8^{\circ} decil D_8 é o valor que deixa 8/10=0,8 (ou 80\%) das observações à sua esquerda. Em dados agrupados em classes usamos a posição k\cdot n/10 para localizar em qual classe o decil se encontra.

Passo 3

Calcular a posição do 8^{\circ} decil na lista ordenada (posição acumulada):
\text{posição} = \frac{k\cdot n}{10} = \frac{8\cdot 36}{10} = 28,8.çã
Isso significa que o D_8 está entre a 28{,}8-ésima e a 29-ésima observação, então procuramos a classe acumulada que contém essa posição.

Passo 4

Calcular as frequências acumuladas por classe (vou somar as f_i na ordem):
  • Acumulada até primeira classe: F_1 = 10.
  • Até segunda classe: F_2 = 10+12 = 22.
  • Até terceira classe: F_3 = 22+8 = 30.
  • Até quarta classe: F_4 = 30+5 = 35.
  • Até quinta classe: F_5 = 35+1 = 36.
A posição 28,8 está entre F_2=22 e F_3=30, portanto o D_8 pertence à classe 12\mid-16 (terceira classe).

Passo 5

Usar a fórmula do decil para dados agrupados (linha reta dentro da classe):
D_k = L + \frac{\dfrac{k\cdot n}{10} - F_{b}}{f_i}\cdot h,
onde
  • L é o limite inferior da classe do decil (aqui L=12),
  • \dfrac{k\cdot n}{10} é a posição calculada (aqui 28,8),
  • F_{b} é a frequência acumulada antes da classe do decil (acumulada até a classe anterior; aqui F_b=F_2=22),
  • f_i é a frequência da classe do decil (aqui f_i=8),
  • h é a amplitude (largura) da classe (aqui h=16-12=4).
Explicação rápida da fórmula: imagina que os f_i observações da classe estão uniformemente distribuídas ao longo da amplitude h; a fração \dfrac{\text{posição} - F_b}{f_i}çã indica a proporção dentro dessa classe até alcançar o decil, e multiplicando por h obtemos o deslocamento a partir do limite inferior L.

Passo 6

Substituir os valores na fórmula e calcular passo a passo:
D_8 = 12 + \frac{28,8 - 22}{8}\cdot 4.
Calcular a diferença no numerador:
28,8 - 22 = 6,8.
Agora a fração:
\frac{6,8}{8} = 0,85.
Multiplicar pelo h:
0,85 \cdot 4 = 3,4.
Somar ao limite inferior:
D_8 = 12 + 3,4 = 15,4.

Passo 7

Interpretação didática e motivadora: o 8^{\circ} decil vale aproximadamente 15,4 anos. Isso quer dizer que cerca de 80\% dos empregados têm experiência profissional menor ou igual a aproximadamente 15,4 anos, e cerca de 20\% têm mais de 15,4 anos. Se estiver na prova, basta recordar a fórmula, identificar a classe acumulada onde fica a posição k\cdot n/10 e aplicar os passos aritméticos como fizemos — sem pânico, é só seguir a receita!

Resposta

D_8 = 15,4 anos\n
Interpretação: aproximadamente 80\% dos empregados têm até 15,4 anos de experiência, e aproximadamente 20\% têm mais de 15,4 anos.

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