Considere a seguinte distribuição de frequência dos tempos de experiência profissional de 36 empregados de uma empresa:
Classes f_{i}
4 \mid-8 10
8 \mid-12 12
12 \mid-16 8
16 \mid-20 5
20 \mid-24 1
\Sigma 36
Calcule o 85^{\circ} percentil e interprete o resultado

Passo 1

O enunciado dá a distribuição dos tempos de experiência profissional de 36 empregados, organizada em classes com frequências absolutas. Os dados fornecidos (peguei-os da tabela do enunciado) são:
  • Classe 4\mid-8: f_1=10
  • Classe 8\mid-12: f_2=12
  • Classe 12\mid-16: f_3=8
  • Classe 16\mid-20: f_4=5
  • Classe 20\mid-24: f_5=1
O enunciado pede:
  • Calcular o 85^{\circ} percentil (isto é, P_{85});
  • Interpretar o resultado (o que significa esse percentil no contexto).

Passo 2

O que é um percentil e como calcular para dados agrupados (explicação didática):
  • O k-ésimo percentil P_k é o valor tal que aproximadamente k\% das observações são menores ou iguais a esse valor. Por exemplo, P_{85} é o valor que deixa 85\% dos empregados com tempo de experiência menor ou igual a ele.
  • Para dados agrupados em classes, não conhecemos os valores individuais dentro de cada classe. A suposição usual (simples e prática para prova) é que os valores estão uniformemente distribuídos dentro da classe onde o percentil cai. Com essa hipótese usamos interpolação linear dentro da classe.
  • Fórmula prática (muito usada em provas): se a classe percentil tem limite inferior l, amplitude da classe h, frequência da classe f_p, frequência acumulada até a classe anterior F_b e N é o total de observações, então
P_k = l + \frac{\dfrac{k}{100}\,N - F_b}{f_p}\cdot h.
Aqui:
  • l = limite inferior da classe que contém o percentil;
  • h = amplitude (largura) da classe;
  • f_p = frequência absoluta da classe do percentil;
  • F_b = frequência acumulada antes dessa classe;
  • N = total de observações;
  • \dfrac{k}{100}N = posição teórica do percentil na lista ordenada.

Passo 3

Calcular frequências acumuladas (passo a passo, para identificar a classe do percentil). Vou somar as frequências na ordem:
  • Acumulada após 4\mid-8: 10.
  • Acumulada após 8\mid-12: 10+12=22.
  • Acumulada após 12\mid-16: 22+8=30.
  • Acumulada após 16\mid-20: 30+5=35.
  • Acumulada após 20\mid-24: 35+1=36.
Portanto, as frequências acumuladas são 10,\;22,\;30,\;35,\;36. O total N=36 (confirmado).

Passo 4

Determinar a posição do 85^{\circ} percentil e em que classe ele cai.
  • Calcular a posição teórica: \dfrac{85}{100}\cdot N = 0,85\cdot36.
0,85\cdot36 = 30,6.
  • Procuramos a classe cujo intervalo acumulado contém a posição 30,6. Observando as acumuladas: até 12\mid-16 temos 30 observações; até 16\mid-20 temos 35. Logo 30 < 30,6 \le 35, então a posição 30,6 cai na classe 16\mid-20.
Logo a classe do percentil é 16\mid-20. Agora identifiquemos os parâmetros para a fórmula:
  • limite inferior da classe: l = 16;
  • amplitude da classe: h = 20-16 = 4;
  • frequência da classe do percentil: f_p = 5 (frequência da classe 16\mid-20);
  • frequência acumulada antes dessa classe: F_b = 30 (acumulada até 12\mid-16).

Passo 5

Aplicar a fórmula com os valores encontrados e calcular passo a passo:
P_{85} = l + \frac{\dfrac{85}{100}N - F_b}{f_p}\cdot h.
Substituindo:
P_{85} = 16 + \frac{0,85\cdot36 - 30}{5}\cdot 4.
Já calculamos 0,85\cdot36 = 30,6, então
P_{85} = 16 + \frac{30,6 - 30}{5}\cdot 4.
Calcule a diferença:
30,6 - 30 = 0,6.
Dividindo pela frequência da classe:
\frac{0,6}{5} = 0,12.
Multiplicando pela amplitude:
0,12\cdot 4 = 0,48.
Somando ao limite inferior:
P_{85} = 16 + 0,48 = 16,48.

Passo 6

Interpretação didática do resultado (como responder numa prova):
  • O 85^{\circ} percentil vale aproximadamente \,16,48 anos.
  • Isso significa que cerca de 85\% dos empregados têm tempo de experiência profissional menor ou igual a \,16,48 anos, e, inversamente, cerca de 15\% dos empregados têm mais de \,16,48 anos de experiência.
  • Observação prática: a resposta usa interpolação dentro da classe 16\mid-20 assumindo distribuição uniforme nessa classe; é o procedimento padrão para tabelas agrupadas quando os dados brutos não estão disponíveis.

Resposta

P_{85}\approx 16,48 anos
Cerca de 85\% dos empregados têm tempo de experiência profissional menor ou igual a 16,48 anos.

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