Considere a seguinte EDO:
\frac{d y}{d x}-3 x^{2} y=2 x^{2}.
Encontre a equação da reta normal à solução dessa EDO que passa no ponto \mathrm{P}=(5,2).

Passo 1

Estamos com uma EDO linear de primeira ordem \displaystyle \frac{dy}{dx}-3x^{2}y=2x^{2}.
O método é usar o fator integrante para obter uma expressão da forma \displaystyle \frac{d}{dx}\bigl(\mu(x)\,y\bigr)=\mu(x)\,Q(x),
onde aqui Q(x)=2x^2.

Passo 2

Calculamos o fator integrante \displaystyle \mu(x)=e^{\int -3x^{2}\,dx}=e^{-x^{3}}.
Multiplicando a EDO por \mu(x) obtemos
e^{-x^{3}}\frac{dy}{dx}-3x^{2}e^{-x^{3}}y =2x^{2}e^{-x^{3}},
isto é
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x^{3}}y\bigr) =2x^{2}e^{-x^{3}}.
Integramos em x:
e^{-x^{3}}y =\int 2x^{2}e^{-x^{3}}\,dx
usa-se u=-x^{3}, du=-3x^{2}dx, logo
\int 2x^{2}e^{-x^{3}}\,dx =-\frac{2}{3}e^{-x^{3}}+C.
Multiplicando por e^{x^{3}} dá a solução geral
y=-\tfrac{2}{3}+C\,e^{x^{3}}.

Passo 3

O ponto P=(5,2) satisfaz a solução, logo
2=-\tfrac{2}{3}+C\,e^{5^{3}} \quad\Longrightarrow\quad C=\bigl(2+\tfrac{2}{3}\bigr)e^{-125} =\tfrac{8}{3}e^{-125}.
Assim
y=-\tfrac{2}{3}+\tfrac{8}{3}e^{x^{3}-125}.

Passo 4

A inclinação da tangente é
\frac{dy}{dx} =\frac{d}{dx}\Bigl(-\tfrac{2}{3}+\tfrac{8}{3}e^{x^{3}-125}\Bigr) =\tfrac{8}{3}e^{x^{3}-125}\cdot3x^{2} =8x^{2}e^{x^{3}-125}.
Em x=5 isso vale \displaystyle m_{\rm tangente}=8\cdot25\cdot e^{0}=200.
Logo a inclinação da normal é \displaystyle m_{\rm normal}=-\frac{1}{200}.

Passo 5

A reta normal em P=(5,2) usa a forma ponto-inclinação:
y-2=-\tfrac{1}{200}(x-5).
Desenvolvendo,
y=-\tfrac{1}{200}x+\tfrac{5}{200}+2 =-\tfrac{1}{200}x+\tfrac{1}{40}+2 =-\tfrac{1}{200}x+\tfrac{81}{40}.

Resposta

A equação da reta normal é
\boxed{y=-\tfrac{1}{200}x+\tfrac{81}{40}}.

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