Exercício 2.5. Seja n \geq 2 um inteiro. Mostre que 1 / 1+1 / 2+\cdots+1 / n não é um inteiro. (Sugestão: você pode usar o postulado de Bertrand - que é na verdade um teorema, e garante que, para cada natural n, há pelo menos um primo entre n e 2 n.) { }^{2}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro n\ge2,
H_n \;=\;\frac1{1}+\frac1{2}+\cdots+\frac1{n}
não é inteiro. Vamos usar o postulado de Bertrand, que garante que para todo natural m\ge1 existe um primo q tal que
m < q \le 2m.
Em particular, aplicando a m=\big\lfloor\tfrac n2\big\rfloor, obtemos um primo q com
\frac n2 < q \le n.
Esse primo será crucial para analisar a fatoração de H_n em termos de valuation v_q.

Passo 2

Defina
P \;=\;\mathrm{lcm}(1,2,\dots,n).
Escrevemos
H_n \;=\;\sum_{i=1}^n\frac1i \;=\;\sum_{i=1}^n\frac{P}{\,i\,}\;\Big/\;P \;=\;\frac{A}{P},
onde
A \;=\;\sum_{i=1}^n \frac{P}{i}
é um inteiro. Queremos comparar a potência de q que divide A e aquela que divide P.

Passo 3

Como \tfrac n2<q\le n, no cálculo de \mathrm{lcm}(1,2,\dots,n) o primo q aparece com expoente
v_q(P) =\max_{1\le i\le n}v_q(i) =1,
pois q\le n mas q^2>n. Logo q^1\mid P e q^2\nmid P.
Agora veja A=\sum_{i=1}^nP/i. Para todo i\neq q, como q\mid P e q\nmid i, resulta q\mid(P/i). Mas no termo i=q temos
\frac{P}{q}
e aí v_q(P/q)=v_q(P)-1=0, ou seja, esse único termo não é múltiplo de q. Portanto, ao somar todos os P/i, exatamente um deles não traz fator q, enquanto os outros n-1 termos são múltiplos de q. Logo
v_q(A)=0.

Passo 4

Resumindo as valuations obtidas:
v_q(P)=1, \qquad v_q(A)=0.
Na forma irredutível de H_n=\tfrac{a}{b} (isto é, tirando o fator comum máximo de A e P), a potência de q que fica no denominador é
v_q(b)\;=\;v_q(P)\;-\;\min\{v_q(A),\,v_q(P)\} \;=\;1-0 \;=\;1.
Assim q\mid b, o denominador final de H_n, e portanto b>1. Concluímos que H_n não pode ser inteiro.

Resposta

Portanto, para todo inteiro n\ge2, o número harmônico
H_n=\frac1{1}+\frac1{2}+\cdots+\frac1{n}
não é um número inteiro.

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