Exercício 2.5. Seja
um inteiro. Mostre que
não é um inteiro. (Sugestão: você pode usar o postulado de Bertrand - que é na verdade um teorema, e garante que, para cada natural
, há pelo menos um primo entre
e
.)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro
,
não é inteiro. Vamos usar o postulado de Bertrand, que garante que para todo natural
existe um primo
tal que
Em particular, aplicando a
, obtemos um primo
com
Esse primo será crucial para analisar a fatoração de
em termos de valuation
.
Passo 2
Defina
Escrevemos
onde
é um inteiro. Queremos comparar a potência de
que divide
e aquela que divide
.
Passo 3
Como
, no cálculo de
o primo
aparece com expoente
pois
mas
. Logo
e
.
Agora veja
. Para todo
, como
e
, resulta
. Mas no termo
temos
e aí
, ou seja, esse único termo não é múltiplo de
. Portanto, ao somar todos os
, exatamente um deles não traz fator
, enquanto os outros
termos são múltiplos de
. Logo
Passo 4
Resumindo as valuations obtidas:
Na forma irredutível de
(isto é, tirando o fator comum máximo de
e
), a potência de
que fica no denominador é
Assim
, o denominador final de
, e portanto
. Concluímos que
não pode ser inteiro.
Resposta
Portanto, para todo inteiro
, o número harmônico
não é um número inteiro.