Esboce a curva e encontre a área da região delimitada por ela.
r=\operatorname{sen}(3 \theta).

Passo 1

O enunciado dá a curva em coordenadas polares
r = \sin(3\theta)
e pede que a gente faça um esboço (rose de 3 pétalas) e calcule a área da região delimitada por ela. O conteúdo aqui é “área em coordenadas polares”, para a qual usaremos a fórmula
A = \frac12 \int_{\theta_1}^{\theta_2} r^2 \,d\theta.

Passo 2

Para esboçar note que \sin(3\theta) faz três ciclos de seno quando \theta varia de 0 a 2\pi. Os zeros ocorrem em
3\theta = n\pi \quad\Longrightarrow\quad \theta = \frac{n\pi}{3},\quad n\in\mathbb{Z}.
Entre cada par de zeros consecutivos a função muda de sinal, mas só conta como pétala quando r\ge0. Assim cada pétala aparece em um intervalo de comprimento \pi/3, e o valor máximo de r é 1. No total formam-se 3 pétalas iguais, simetricamente espaçadas a cada 2\pi/3.

Passo 3

Escolhemos o primeiro intervalo em que r\ge0, ou seja \theta\in[0,\pi/3]. A área de uma pétala vale
A_{\rm pétala} = \frac12 \int_{0}^{\pi/3} \bigl(\sin(3\theta)\bigr)^2 d\theta.é

Passo 4

Use a identidade
\sin^2(3\theta)=\frac{1-\cos(6\theta)}{2}.
Então
\int_{0}^{\pi/3} \sin^2(3\theta)\,d\theta = \int_{0}^{\pi/3} \frac{1-\cos(6\theta)}{2}\,d\theta = \left[\frac{\theta}{2}-\frac{\sin(6\theta)}{12}\right]_{0}^{\pi/3} = \frac{\pi/6}{1} = \frac{\pi}{6}.
Logo
A_{\rm pétala} = \frac12 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{12}.é

Passo 5

Como há 3 pétalas idênticas, a área total é
A_{\rm total} = 3 \times \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{4}.

Resposta

A área da região delimitada pela curva r=\sin(3\theta) é \displaystyle \frac{\pi}{4}.

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