Esboce a curva e encontre a área da região delimitada por ela.
.
Passo 1
O enunciado dá a curva em coordenadas polares
e pede que a gente faça um esboço (rose de 3 pétalas) e calcule a área da região delimitada por ela. O conteúdo aqui é “área em coordenadas polares”, para a qual usaremos a fórmula
Passo 2
Para esboçar note que
faz três ciclos de seno quando
varia de
a
. Os zeros ocorrem em
Entre cada par de zeros consecutivos a função muda de sinal, mas só conta como pétala quando
. Assim cada pétala aparece em um intervalo de comprimento
, e o valor máximo de
é
. No total formam-se 3 pétalas iguais, simetricamente espaçadas a cada
.
Passo 3
Escolhemos o primeiro intervalo em que
, ou seja
. A área de uma pétala vale
Passo 4
Use a identidade
Então
Logo
Passo 5
Como há 3 pétalas idênticas, a área total é
Resposta
A área da região delimitada pela curva
é
.