Considere a seguinte equação diferencial:
(a) Mostre que a equação diferencial não é exata e que
Ă© um fator integrante.
(b) Encontre a solução geral da equação.
© Encontre a solução particular que passa pelo ponto
. [Resp:
.
(b) Encontre a solução geral da equação.
© Encontre a solução particular que passa pelo ponto
Passo 1
O exercício pede pra gente trabalhar com a equação
Isso envolve exatidão de EDOs de primeira ordem e fator integrante em função de
.
Passo 2
Primeiro identificamos
e
.
Calculamos
e
.
Como não são iguais, a equação não é exata. Agora testamos o fator integrante dado . Multiplicando a equação por
, ficamos com
e
Calculamos
e
Como não são iguais, a equação não é exata. Agora testamos o fator integrante dado
Nesse caso
Verificamos
e
logo a equação é exata.
Passo 3
Para resolver a exata, buscamos uma função potencial
tal que
e
.
Integramos
em relação a :
Integramos
em relação a
Depois impomos
,
seguindo que e
.
Então a solução geral fica
seguindo que
Então a solução geral fica
Passo 4
Para achar a solução particular que passa por
, substituímos
e
em
:
Portanto o valor de
é
e a solução particular é dada pela mesma expressão com esse
.