Considere a seguinte equação diferencial:
e^x^3+sen y+x3 cos (y) y^prime=0
(a) Mostre que a equação diferencial não é exata e que mu(x)=x^2 é um fator integrante.
(b) Encontre a solução geral da equação.
© Encontre a solução particular que passa pelo ponto (1, pi). [Resp: .

Passo 1

O exercício pede pra gente trabalhar com a equação
e^x^3 + sin y + x3cos(y),y' = 0
Isso envolve exatidão de EDOs de primeira ordem e fator integrante em função de x.

Passo 2

Primeiro identificamos
M(x,y) = e^x^3 + sin y
e
N(x,y) = tfracx3cos y.
Calculamos
partial Mpartial y = cos y
e
partial Npartial x = tfrac13cos y.
Como não são iguais, a equação não é exata. Agora testamos o fator integrante dado mu(x)=x^2. Multiplicando a equação por x^2, ficamos com
x^2 e^x^3 + x^2sin y + x^33cos y,y' = 0
Nesse caso
M^* = x^2 e^x^3 + x^2sin y e
N^* = tfracx^33cos y.
Verificamos
partialy M^* = x^2cos y
e
partialx N^* = x^2cos y,
logo a equação é exata.

Passo 3

Para resolver a exata, buscamos uma função potencial Phi(x,y) tal que
Phix = M^* e Phiy = N^*.
Integramos
Phix = x^2 e^x^3 + x^2sin y
em relação a x:
Phi(x,y) = integral x^2 e^x^3dx + integral x^2sin y,dx = e^x^33 + x^33sin y + h(y)
Depois impomos
Phiy = x^33cos y + h'(y) = N^* = x^33cos y,
seguindo que h'(y)=0 e h(y)=constante.
Então a solução geral fica
e^x^33 + x^33sin y = C

Passo 4

Para achar a solução particular que passa por (1,pi), substituímos x=1 e y=pi em
tfrace^x^33 + tfracx^33sin y = C:
e^13 + 1^33sin(pi) = e3 + 0 = C
Portanto o valor de C é e/3 e a solução particular é dada pela mesma expressão com esse C.

Resposta

e^x^33 + x^33sin y = e3

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