Considere a seguinte equação aplicada para obter um intervalo de confiança bilateral de 100(1-\alpha) \% para o parâmetro \mu de uma distribuição normal com variância conhecida \sigma^{2} a partir de uma amostra aleatória de n observações:
\bar{y}-z_{\alpha / 2} \sigma / \sqrt{n} \leq \mu \leq \bar{y}+z_{\alpha / 2} \sigma / \sqrt{n}
em que z_{\alpha / 2} é o ponto superior da distribuição normal padrão que delimita à sua direita \alpha / 2 de área. Para as respostas considere 3 casas decimais.
Qual é o valor de z_{\alpha / 2} nessa equação que fornece 95 \% de confiança?

Passo 1

O enunciado pede: qual é o valor de z_{\alpha/2} que deve ser usado na fórmula do intervalo de confiança bilateral
\bar{y}-z_{\alpha / 2} \sigma / \sqrt{n} \leq \mu \leq \bar{y}+z_{\alpha / 2} \sigma / \sqrt{n}
para um nível de confiança de 100(1-\alpha)\% = 95\%. Informações dadas relevantes: o nível de confiança é 95\% e z_{\alpha/2} é o ponto da distribuição normal padrão cuja cauda direita tem área \alpha/2.

Passo 2

Calculo de \alpha. Se o nível de confiança é 95\%, então
\alpha = 1 - 0,95 = 0,05.
Aqui eu apenas subtrai o nível de confiança de 1 para obter a probabilidade total das duas caudas.

Passo 3

Calculo de \alpha/2. Como o intervalo é bilateral, dividimos \alpha em duas caudas iguais:
\frac{\alpha}{2} = \frac{0,05}{2} = 0,025.
Isso significa que a área à direita de z_{\alpha/2} na normal padrão deve ser 0,025.

Passo 4

Interpretação do quantil z_{\alpha/2}. O valor z_{\alpha/2} é tal que
P(Z > z_{\alpha/2}) = 0,025,
onde Z tem distribuição normal padrão. Pela simetria da normal padrão, isso equivale a
P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,025 = 0,975.
Portanto z_{\alpha/2} é o quantil de ordem 0,975 da normal padrão, ou seja z_{\alpha/2} = z_{0,975}.

Passo 5

Consulta do quantil. Usando uma tabela da normal padrão ou a função inversa da CDF (por exemplo numa calculadora científica, R, Python, etc.), obtemos o valor numérico do quantil 0,975:
z_{0,975} \approx 1,9599639845.
Esse é o valor exato aproximado; agora vamos arredondar para três casas decimais conforme pedido.

Passo 6

Arredondamento para três casas decimais. O número 1,9599639845 arredondado para três casas decimais é 1,960 (porque o quarto dígito decimal é 9, que faz o terceiro dígito subir de 9 para 10, resultando em 1,960).

Resposta

1,960

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