Num grupo de pacientes, o nível de colestrol é uma variável aleatória Y com distribuição Normal de média desconhecida e variância 64
.
(indicado como 16 no vídeo de resolução de exercícios) Para uma amostra de 150 indivíduos, que forneceu um nível médio de colesterol de
, calcule o intervalo com
de confiança para a média populacional.
(indicado como 16 no vídeo de resolução de exercícios) Para uma amostra de 150 indivíduos, que forneceu um nível médio de colesterol de
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e pede uma coisa bem clara.
- Tamanho da amostra:
. - Média amostral:
. - Variância populacional conhecida:
. - Nível de confiança desejado:
.
O que se pede: calcular o intervalo de confiança de
para a média populacional (a média verdadeira do nível de colesterol).
Passo 2
Qual fórmula usamos e por quê? Quando a variância populacional
é conhecida, o intervalo de confiança para a média populacional
é dado por
Vou explicar cada símbolo nessa fórmula:
-
é a média da amostra (aqui ). -
é o valor crítico da distribuição Normal padrão que deixa área em cada cauda. Para nível de confiança , temos e . -
é o desvio-padrão populacional (a raiz quadrada da variância). -
é o tamanho da amostra. -
é o erro padrão da média (quantifica a variação esperada de entre amostras).
Justificativa do método: usamos
(e não
) porque a variância populacional é dada (conhecida). Mesmo se a amostra não fosse muito grande, a condição de normalidade ou o TCL (aqui
é grande) nos dá segurança.
Passo 3
Calcular o desvio-padrão populacional
a partir da variância:
Calcular o erro padrão da média:
Agora calculamos numericamente
. Podemos escrever
e
, portanto
Logo
Passo 4
Encontrar o valor crítico
para
de confiança. Como
,
Isto é obtido em tabelas da Normal padrão ou calculadora estatística. (Para recapitular:
é o número que deixa
na cauda superior da Normal padrão.)
Passo 5
Calcular a margem de erro (metade do comprimento do intervalo):
Arredondando razoavelmente:
.
Passo 6
Calcular os extremos do intervalo de confiança:
Arredondando para duas casas decimais (prática comum em resultados laboratoriais):
Passo 7
Interpretação intuitiva e motivacional: isso significa que, com confiança de
, o verdadeiro valor médio do colesterol na população está entre
e
. Ou seja, se eu repetisse o experimento muitas vezes e construísse muitos intervalos dessa forma, cerca de
desses intervalos conteriam a média verdadeira. Você está indo bem — essa é a maneira padrão de comunicar incerteza na média quando a variância é conhecida!