Num grupo de pacientes, o nível de colestrol é uma variável aleatória Y com distribuição Normal de média desconhecida e variância 64 (\mathrm{mg} / \mathrm{ml})^{2}.
(indicado como 16 no vídeo de resolução de exercícios) Para uma amostra de 150 indivíduos, que forneceu um nível médio de colesterol de 120 \mathrm{mg} / \mathrm{ml}, calcule o intervalo com 95 \% de confiança para a média populacional.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede uma coisa bem clara.
  • Tamanho da amostra: n=150.
  • Média amostral: \bar{y}=120\\ \mathrm{mg}/\mathrm{ml}.
  • Variância populacional conhecida: \sigma^{2}=64\\ (\mathrm{mg}/\mathrm{ml})^{2}.
  • Nível de confiança desejado: 95\%.
O que se pede: calcular o intervalo de confiança de 95\% para a média populacional (a média verdadeira do nível de colesterol).

Passo 2

Qual fórmula usamos e por quê? Quando a variância populacional \sigma^{2} é conhecida, o intervalo de confiança para a média populacional \mu é dado por
\bar{y}\pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Vou explicar cada símbolo nessa fórmula:
  • \bar{y} é a média da amostra (aqui \bar{y}=120).
  • z_{\alpha/2} é o valor crítico da distribuição Normal padrão que deixa área \alpha/2 em cada cauda. Para nível de confiança 95\%, temos \alpha=0,05 e \alpha/2=0,025.
  • \sigma é o desvio-padrão populacional (a raiz quadrada da variância).
  • n é o tamanho da amostra.
  • \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} é o erro padrão da média (quantifica a variação esperada de \bar{y} entre amostras).
Justificativa do método: usamos z (e não t) porque a variância populacional é dada (conhecida). Mesmo se a amostra não fosse muito grande, a condição de normalidade ou o TCL (aqui n=150 é grande) nos dá segurança.

Passo 3

Calcular o desvio-padrão populacional \sigma a partir da variância:
\sigma=\sqrt{64}=8\\ \mathrm{mg}/\mathrm{ml}.
Calcular o erro padrão da média:
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{8}{\sqrt{150}}.
Agora calculamos numericamente \sqrt{150}. Podemos escrever \sqrt{150}=5\sqrt{6} e \sqrt{6}\approx2,4494897, portanto
\sqrt{150}\approx12,2474497.
Logo
\frac{8}{\sqrt{150}}\approx\frac{8}{12,2474497}\approx0,653197\\ \mathrm{mg}/\mathrm{ml}.

Passo 4

Encontrar o valor crítico z_{\alpha/2} para 95\% de confiança. Como \alpha/2=0,025,
z_{0,025}=1,96.
Isto é obtido em tabelas da Normal padrão ou calculadora estatística. (Para recapitular: 1,96 é o número que deixa 2,5\% na cauda superior da Normal padrão.)

Passo 5

Calcular a margem de erro (metade do comprimento do intervalo):
\text{margem}=z_{0,025}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=1,96\cdot 0,653197\approx1,27927\\ \mathrm{mg}/\mathrm{ml}.
Arredondando razoavelmente: \text{margem}\approx1,28\\ \mathrm{mg}/\mathrm{ml}.

Passo 6

Calcular os extremos do intervalo de confiança:
\text{limite inferior}=\bar{y}-\text{margem}=120-1,27927\approx118,72073\\ \mathrm{mg}/\mathrm{ml},
\text{limite superior}=\bar{y}+\text{margem}=120+1,27927\approx121,27927\\ \mathrm{mg}/\mathrm{ml}.
Arredondando para duas casas decimais (prática comum em resultados laboratoriais):
\text{intervalo} \approx(118,72\\ ,\\\ 121,28)\\ \mathrm{mg}/\mathrm{ml}.

Passo 7

Interpretação intuitiva e motivacional: isso significa que, com confiança de 95\%, o verdadeiro valor médio do colesterol na população está entre \,118,72 e \,121,28\\ \mathrm{mg}/\mathrm{ml}. Ou seja, se eu repetisse o experimento muitas vezes e construísse muitos intervalos dessa forma, cerca de 95\% desses intervalos conteriam a média verdadeira. Você está indo bem — essa é a maneira padrão de comunicar incerteza na média quando a variância é conhecida!

Resposta

\\ (118,72\\ ,\\\ 121,28)\\ \mathrm{mg}/\mathrm{ml}

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