Considere a seguinte equação aplicada para obter um intervalo de confiança bilateral de 100(1-\alpha) \% para o parâmetro \mu de uma distribuição normal com variância conhecida \sigma^{2} a partir de uma amostra aleatória de n observações:
\bar{y}-z_{\alpha / 2} \sigma / \sqrt{n} \leq \mu \leq \bar{y}+z_{\alpha / 2} \sigma / \sqrt{n}
em que z_{\alpha / 2} é o ponto superior da distribuição normal padrão que delimita à sua direita \alpha / 2 de área. Para as respostas considere 3 casas decimais.
Qual é o valor de z_{\alpha / 2} nessa equação que fornece 90 \% de confiança?

Passo 1

O enunciado dá a fórmula do intervalo de confiança bilateral
\bar{y}-z_{\alpha / 2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \bar{y}+z_{\alpha / 2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}
e pede o valor de z_{\alpha/2} que corresponde a 90\% de confiança. Informações relevantes que temos:
  • O nível de confiança é 100(1-\alpha)\% = 90\%, logo 1-\alpha=0,90.
  • z_{\alpha/2} é o valor da distribuição normal padrão tal que a área à direita de z_{\alpha/2} é \alpha/2.
  • Não precisamos do valor de n nem de \sigma para encontrar apenas z_{\alpha/2}.

Passo 2

Calcular \alpha a partir do nível de confiança. Por definição,
\alpha = 1-(1-\alpha) = 1-0,90.
Logo,
\alpha = 0,10.
Em seguida calculamos \alpha/2:
\alpha/2 = 0,10/2 = 0,05.

Passo 3

Interpretar o significado de z_{\alpha/2}. Pela definição,
P\big(Z > z_{\alpha/2}\big) = \alpha/2,
onde Z é uma variável com distribuição normal padrão. Isso implica que a área acumulada à esquerda de z_{\alpha/2} é
\Phi\big(z_{\alpha/2}\big) = 1 - \alpha/2.
Substituindo \alpha/2=0,05, obtemos
\Phi\big(z_{0,05}\big) = 1 - 0,05 = 0,95.

Passo 4

Obter o quantil correspondente. O valor z_{0,05} é o quantil da normal padrão cuja função de distribuição acumulada vale 0,95, ou seja
z_{0,05} = \Phi^{-1}(0,95).
Usando tabela da normal padrão ou uma calculadora (função inversa \Phi^{-1}), o valor numérico é aproximadamente
z_{0,05} \approx 1,6448536\ldots
Um jeito rápido por simetria é notar que \Phi^{-1}(0,95) = -\Phi^{-1}(0,05), e as tabelas conhecidas dão esse valor próximo de 1,645.

Passo 5

Arredondar o valor às três casas decimais, conforme pedido. Arredondando 1,6448536\ldots para três casas decimais obtemos
z_{\alpha/2} = 1,645.
Vai dar tudo certo na prova — decorar os quantis mais usados ( 90\% \to 1,645, 95\% \to 1,960, 99\% \to 2,576) ajuda muito na hora.

Resposta

z_{\alpha/2}=1,645

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