Considere a seguinte equação aplicada para obter um intervalo de confiança bilateral de 100(1-\alpha) \% para o parâmetro \sigma^{2} de uma distribuição normal a partir de uma amostra aleatória de n observações:
\left[\frac{(n-1) s^{2}}{\chi_{\alpha / 2}^{2}} \leq \sigma^{2} \leq \frac{(n-1) s^{2}}{\chi_{1-\alpha / 2}^{2}}\right]
em que \chi_{\alpha / 2}^{2} e \chi_{1-\alpha / 2}^{2} são pontos da distribuição \chi^{2} com n-1 graus de liberdade, que delimita à sua direita \alpha / 2 de área. Considerando uma amostra aleatória de 15 elementos:
(Para as respostas considere 3 casas decimais).
(indicado como 13 no vídeo de resolução de exercícios) Qual é o valor de \chi_{\alpha / 2} nessa equação que fornece 95 \% de confiança?

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Pede-se o valor de \chi_{\alpha/2}^{2} que aparece no intervalo de confiança bilateral para \sigma^{2}, quando o nível de confiança é 95\%.
  • Dados: n=15.
  • Para 95\% de confiança temos \alpha=0{,}05.
  • Pelo enunciado, \chi_{\alpha/2}^{2} é o ponto da distribuição \chi^{2} com n-1 graus de liberdade que deixa à sua direita área \alpha/2.

Passo 2

Interpretando o que é \chi_{\alpha/2}^{2}.
  • A expressão “deixa à sua direita área \alpha/2” significa que estamos procurando o valor x tal que \Pr(\chi^{2}_{\nu} > x)=\alpha/2, onde \nu é o número de graus de liberdade.
  • Em termos de quantil inferior (mais usado em tabelas), isso equivale ao quantil de ordem 1-\alpha/2, pois \Pr(\chi^{2}_{\nu} \le x)=1-\alpha/2.

Passo 3

Calcular os parâmetros para buscar o valor.
  • Graus de liberdade: \nu = n-1 = 15-1 = 14.
  • \alpha = 0{,}05, logo \alpha/2 = 0{,}025.
  • Precisamos do quantil inferior 1-\alpha/2 = 1-0{,}025 = 0{,}975 da distribuição \chi^{2} com \nu=14.

Passo 4

Como obter o valor numérico.
  • Em tabelas da distribuição \chi^{2} (ou em software), procure o valor do quantil 0{,}975 para \nu=14.
  • Observação: eu obtive o número consultando a tabela da distribuição \chi^{2} (tabelas padrão ou calculadora estatística).

Passo 5

Valor numérico com três casas decimais.
  • O valor do quantil 0{,}975 para \chi^{2} com 14 graus de liberdade é \,26{,}119.

Resposta

26{,}119

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