Considere a seguinte equação diferencial:
(a) Mostre que a equação diferencial (1.30) não é exata e que
\mu(x, y)=\frac{x}{y^{2}} é um fator integrante da mesma.
(b) Encontre a solução geral de (1.30).
(c) Encontre a solução de (1.30) que satisfaz
y(1)=1.
\mu(x, y)=\frac{x}{y^{2}} é um fator integrante da mesma.
(b) Encontre a solução geral de (1.30).
(c) Encontre a solução de (1.30) que satisfaz
y(1)=1.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
que podemos escrever em forma diferencial
onde
Precisamos (a) mostrar que não é exata, (b) verificar que
é um fator integrante, (c) achar a solução geral e (d) impor
.
Passo 2
Para testar exatidão calculamos
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Multiplicamos agora por
. Definimos
Passo 4
Verificamos a exatidão da nova forma:
Como são iguais, a equação
é exata.
Passo 5
Existe
tal que
Integramos em
:
Para achar
, usamos
Logo
Passo 6
A solução implícita geral vem de
Passo 7
Para
temos
Assim a solução particular satisfaz
Resposta
A solução geral é dada implicitamente por
A solução que satisfaz
é
ou, equivalentemente,