Considere a seguinte equação diferencial:
-2 y+(x+y^3x) y^prime=0
(a) Mostre que a equação diferencial (1.30) não é exata e que
\mu(x, y)=\frac{x}{y^{2}} é um fator integrante da mesma.
(b) Encontre a solução geral de (1.30).
(c) Encontre a solução de (1.30) que satisfaz
y(1)=1.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
-2y + l(x + tfracy^3xr),y' = 0
que podemos escrever em forma diferencial
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0,
onde
M(x,y) = -2y, N(x,y) = x + y^3x
Precisamos (a) mostrar que não é exata, (b) verificar que mu(x,y)=tfracxy^2 é um fator integrante, (c) achar a solução geral e (d) impor y(1)=1.

Passo 2

Para testar exatidão calculamos
partial Mpartial y = partialpartial y(-2y) = -2, partial Npartial x = partialpartial xl(x + tfracy^3xr) = 1 - y^3x^2
Como -2 neq 1 - y^3/x^2, a equação não é exata.

Passo 3

Multiplicamos agora por mu(x,y)=xy^2. Definimos
widetilde M = mu,M = xy^2(-2y) = -2xy, widetilde N = mu,N = xy^2l(x + y^3xr) = x^2y^2 + y

Passo 4

Verificamos a exatidão da nova forma:
partial widetilde Mpartial y = partialpartial yl(-2x,y^-1r) = 2x,y^-2, partial widetilde Npartial x = partialpartial xl(x^2y^-2+yr) = 2x,y^-2
Como são iguais, a equação
widetilde M,dx + widetilde N,dy = 0
é exata.

Passo 5

Existe psi(x,y) tal que
partial psipartial x = widetilde M = -2xy
Integramos em x:
psi(x,y) = integral -2xy,dx = -x^2y + h(y)
Para achar h(y), usamos
partial psipartial y = x^2y^2 + h'(y) stackrel!=widetilde N = x^2y^2 + y ;Longrightarrow; h'(y)=y ;Longrightarrow; h(y)=y^22
Logo
psi(x,y) = -x^2y + y^22

Passo 6

A solução implícita geral vem de
psi(x,y) = C Longrightarrow -x^2y + y^22 = C

Passo 7

Para y(1)=1 temos
-1^21 + 1^22 = C ;Longrightarrow; -1 + tfrac12 = C ;Longrightarrow; C = -tfrac12
Assim a solução particular satisfaz
-x^2y + y^22 = -12

Resposta

A solução geral é dada implicitamente por
-x^2y + y^22 = C
A solução que satisfaz y(1)=1 é
-x^2y + y^22 = -12,
ou, equivalentemente,
y^3 + y - 2x^2 = 0

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