Considere a seguinte equação diferencial
y^prime prime+(3-alpha) y^prime-2(alpha-1) y=0
Determine as afirmativas verdadeiras com relação as soluções dessa equação.
Escolha uma ou mais:
y 0 para alpha<0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear com coeficientes constantes
y'' + (3 - alpha),y' - 2(alpha - 1),y = 0
e pede para analisar se é verdade que “ yto0 quando alpha<0”. Para isso vamos resolver a equação característica e estudar o sinal dos autovalores.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada, trocando yto e^rt:
r^2 + (3 - alpha),r - 2(alpha - 1) = 0
O discriminante é
De<a = (3-alpha)^2 + 8(alpha - 1) =9 -6alpha +alpha^2 +8alpha -8 =alpha^2 +2alpha +1 =(alpha+1)^2

Passo 3

As raízes são
r = -(3-alpha)pm(alpha+1)2
Calculando cada uma:
r1 = alpha-3 + (alpha+1)2 = 2alpha-22 =alpha -1, r2 = alpha-3 - (alpha+1)2 = -42 =-2

Passo 4

A solução geral é
y(t) = C1 e^(alpha-1)t + C2 e^-2t
Para investigar o comportamento quando tto+infty, observamos os expoentes:
  • alpha-1<0 se, e somente se, alpha<1.
  • -2<0 sempre.
Logo ambos os termos decaem para zero se, e somente se, alpha<1.

Passo 5

Em particular, se alpha<0 então alpha<1, de modo que alpha-1<0 e -2<0. Portanto toda solução satisfaz
limttoinftyy(t) = 0
Logo a afirmativa “ yto0 para alpha<0” é verdadeira.

Resposta

A afirmativa é verdadeira.

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