Considere a seguinte equação diferencial
y^prime prime+(3-alpha) y^prime-2(alpha-1) y=0
Determine as afirmativas verdadeiras com relação as soluções dessa equação.
Escolha uma ou mais:
y infty para alpha<0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem
y'' + (3-alpha),y' - 2(alpha-1),y = 0
e pede para verificar se a afirmação “ ytoinfty para alpha<0” é verdadeira. Para isso, vamos achar a solução geral por meio da equação característica e analisar o sinal dos expoentes.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada:
r^2 + (3-alpha),r - 2(alpha-1) = 0
O discriminante é
De<a = (3-alpha)^2 + 8(alpha-1) = alpha^2 -6alpha +9 +8alpha -8 = (alpha+1)^2
Logo as raízes são
r = -(3-alpha)pm(alpha+1)2

Passo 3

Calculando cada raiz:
r1 = -(3-alpha) + (alpha+1)2 = -3+alpha+alpha+12 = alpha-1,
r2 = -(3-alpha) - (alpha+1)2 = -3+alpha-alpha-12 = -2
A solução geral é
y(x) = C1 e^(alpha-1)x + C2 e^-2x

Passo 4

Para que ytoinfty quando xtoinfty, é necessário ter pelo menos um dos expoentes positivo. Aqui eles são alpha-1 e -2. Se alpha<0, então alpha-1< -1 e -2<0, logo ambos são negativos e cada termo decai para zero. Assim y(x)to0, não infty.

Resposta

A afirmação “ ytoinfty para alpha<0” é falsa.

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