Determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial
l (t-1) y^prime prime-3 t y^prime+4 y=sen t y(2)=2 y^prime(2)=1
certamente possui uma única solução duas vezes diferenciável
Escolha uma opção:
0<t<3
0<t<infty
1<t<infty
-infty<t<1
Nenhuma das demais alternativas
-infty<t<0

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial de segunda ordem:
l (t-1) y'' - 3 t y' + 4 y = sin t y(2) = 2 y'(2) = 1
O objetivo é encontrar o maior intervalo de valores de t no qual esse problema certamente tem uma única solução que é duas vezes diferenciável. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares e os intervalos de existência e unicidade das soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação diferencial:
(t-1) y'' - 3 t y' + 4 y = sin t
Aqui, temos:
  • P(t) = t - 1 (coeficiente de y'' )
  • Q(t) = -3t (coeficiente de y' )
  • R(t) = 4 (coeficiente de y )
  • F(t) = sin t (termo independente)

Passo 3

Para garantir que haja uma solução única e diferenciável, precisamos que os coeficientes P(t) , Q(t) , R(t) e F(t) sejam contínuos no intervalo considerado e que P(t) neq 0 nesse intervalo. Isso porque, se P(t) = 0 em algum ponto, a equação deixa de ser de segunda ordem e pode não ter solução única.

Passo 4

Vamos analisar onde P(t) = t - 1 é diferente de zero:
t - 1 neq 0 implies t neq 1
Isso significa que o ponto t = 1 é uma singularidade da equação, onde a solução pode não existir ou não ser única.

Passo 5

Agora, observamos que a condição inicial está dada em t = 2 . Queremos encontrar o maior intervalo que contenha t = 2 e que não inclua t = 1 . Assim, os possíveis intervalos são:
  • 1 < t < infty
  • 0 < t < 1
  • Outros intervalos que não incluem t = 2 , mas queremos o que contém t = 2 .

Passo 6

Dentre as opções fornecidas:
  • 0 < t < 3
  • 0 < t < infty
  • 1 < t < infty
  • -infty < t < 1
  • Nenhuma das demais alternativas
  • -infty < t < 0
O intervalo que contém t = 2 e exclui t = 1 é 1 < t < infty .

Resposta

A opção correta é 1 < t < infty .

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