Com relação a solução do problema de valor inicial:
Qual dos seguintes comportamentos limites é uma característica dessa solução:
Escolha uma opção: y -1 quando t infty y 1 quando t infty
Nenhuma das demais alternativas y -infty quando t infty y 0 quando t infty y infty quando t infty
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício trata de resolver um problema de valor inicial para uma equação diferencial de segunda ordem. A gente precisa descobrir qual o comportamento da solução y(t) quando t vai para o infinito. Para isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares homogêneas e encontrar as raízes da equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que temos:
y'' + y' - 2y = 0
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. Para resolver, vamos encontrar a equação característica associada.
Passo 3
A equação característica é obtida substituindo y = e^rt na equação diferencial. Assim, temos:
r^2 + r - 2 = 0
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r .
Passo 4
Resolvendo r^2 + r - 2 = 0 usando a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
onde a = 1 , b = 1 e c = -2 . Calculando:
r = -1 pm raiz1 + 82 = -1 pm 32
Então, as raízes são:
r1 = 1 e r2 = -2
Passo 5
Como temos duas raízes reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t = C1 e^t + C2 e^-2t
Passo 6
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes C1 e C2 .