Com relação a solução do problema de valor inicial:
l y^prime prime+y^prime-2 y=0 y(0)=1 y^prime(0)=1
Qual dos seguintes comportamentos limites é uma característica dessa solução:
Escolha uma opção:
y -1 quando t infty
y 1 quando t infty
Nenhuma das demais alternativas
y -infty quando t infty
y 0 quando t infty
y infty quando t infty

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício trata de resolver um problema de valor inicial para uma equação diferencial de segunda ordem. A gente precisa descobrir qual o comportamento da solução y(t) quando t vai para o infinito. Para isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares homogêneas e encontrar as raízes da equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que temos:
y'' + y' - 2y = 0
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. Para resolver, vamos encontrar a equação característica associada.

Passo 3

A equação característica é obtida substituindo y = e^rt na equação diferencial. Assim, temos:
r^2 + r - 2 = 0
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r .

Passo 4

Resolvendo r^2 + r - 2 = 0 usando a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
onde a = 1 , b = 1 e c = -2 . Calculando:
r = -1 pm raiz1 + 82 = -1 pm 32
Então, as raízes são:
r1 = 1 e r2 = -2

Passo 5

Como temos duas raízes reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t = C1 e^t + C2 e^-2t

Passo 6

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes C1 e C2 .
Primeira condição: y(0) = 1
1 = C1 e^0 + C2 e^0 Rightarrow C1 + C2 = 1 (1)
Segunda condição: y'(0) = 1
Primeiro, vamos encontrar y'(t) :
y'(t) = C1 e^t - 2 C2 e^-2t
Aplicando t = 0 :
1 = C1 - 2 C2 (2)

Passo 7

Agora temos o sistema de equações:
C1 + C2 = 1 (1) C1 - 2 C2 = 1 (2)
Subtraindo a equação (1) da equação (2):
(C1 - 2 C2) - (C1 + C2) = 1 - 1 Rightarrow -3 C2 = 0 Rightarrow C2 = 0
Substituindo C2 = 0 na equação (1):
C1 + 0 = 1 Rightarrow C1 = 1

Passo 8

Com os valores das constantes, a solução particular é:
y(t) = e^t + 0 cdot e^-2t = e^t

Passo 9

Agora, vamos analisar o comportamento de y(t) quando t tende ao infinito:
limt to infty y(t) = limt to infty e^t = infty

Resposta

A solução satisfaz que y infty quando t infty .

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