Sejam
uma função
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para provar a igualdade de conjuntos
onde
é a pré-imagem de um conjunto
e
. Vamos mostrar as duas inclusões.
Passo 2
Mostramos primeiro
Seja
. Então, por definição de pré-imagem,
. Isso implica duas coisas simultaneamente:
-
, logo . -
, logo .
Portanto, provando a inclusão.
Passo 3
Agora mostramos
Seja
. Então
e
. Assim:
-
. -
.
Logo, o que significa .
Passo 4
Como mostramos ambas as inclusões, concluímos que