Sejam f: X Y uma função e V, W subset Y. Mostre que
f^-1(V backslash W)=f^-1(V) backslash f^-1(W).

Passo 1

O enunciado pede para provar a igualdade de conjuntos
f^-1(Vsetminus W)=f^-1(V)setminus f^-1(W),
onde f^-1(A)=xin Xmid f(x)in A é a pré-imagem de um conjunto Asubset Y e Vsetminus W=yin Vmid ynotin W. Vamos mostrar as duas inclusões.

Passo 2

Mostramos primeiro
f^-1(Vsetminus W)subset f^-1(V)setminus f^-1(W)
Seja xin f^-1(Vsetminus W). Então, por definição de pré-imagem, f(x)in Vsetminus W. Isso implica duas coisas simultaneamente:
  1. f(x)in V, logo xin f^-1(V).
  2. f(x)notin W, logo xnotin f^-1(W).
    Portanto xin f^-1(V)setminus f^-1(W), provando a inclusão.

Passo 3

Agora mostramos
f^-1(V)setminus f^-1(W)subset f^-1(Vsetminus W)
Seja xin f^-1(V)setminus f^-1(W). Então xin f^-1(V) e xnotin f^-1(W). Assim:
  1. f(x)in V.
  2. f(x)notin W.
    Logo f(x)in Vsetminus W, o que significa xin f^-1(Vsetminus W).

Passo 4

Como mostramos ambas as inclusões, concluímos que
f^-1(Vsetminus W)=f^-1(V)setminus f^-1(W)

Resposta

f^-1(Vsetminus W)=f^-1(V)setminus f^-1(W)

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