Determine se as séries sumn=1^infty (-1)^n+1n^2 e sumn=1^infty (-1)^n+1 nn+1 convergem ou divergem.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se as séries alternadas
sumn=1^infty (-1)^n+1n^2 e sumn=1^infty (-1)^n+1nn+1
convergem ou divergem.
Os conceitos que vamos usar são:
1. Critério do termo geral: se limntoinftyanneq0, então sum an diverge.
2. Critério de Leibniz para séries alternadas: se bn>=0, bn decrescente e limntoinftybn=0, então sum(-1)^n bn converge.
3. Convergência absoluta: se sum|an| converge, então sum an converge.

Passo 2

Analisando a primeira série
an = (-1)^n+1n^2,
vemos que |an|=1/n^2, e a série sumn=1^infty 1/n^2 é uma p-série com p=2>1, logo converge. Como sum|an| converge, a série original converge absolutamente, e portanto converge.

Passo 3

Analisando a segunda série
an = (-1)^n+1,nn+1,
verifica-se o termo geral
limntoinftyan = limntoinfty(-1)^n+1,nn+1
Como limntoinftyn/(n+1)=1, temos lim an não existe como zero (oscila entre pm1). Pelo critério do termo geral, a série diverge.

Resposta

A primeira série converge (na verdade converge absolutamente).
A segunda série diverge.

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