Use o teste da comparação no limite para determinar quando as séries sumn=1^infty 1raizn+1 e sumn=1^infty 2^n+13^n convergem ou divergem.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência ou divergência das séries
sumn=1^infty 1raizn+1 e sumn=1^infty 2^n+13^n
usando o teste da comparação no limite. Vamos relembrar que esse teste compara termos de duas séries de termos não negativos via o limite do quociente.

Passo 2

Para a primeira série definimos
an = 1raizn+1
Como, para grandes n, raizn domina 1, an se comporta como 1/raizn. Tomamos então
bn = 1raizn,
que é uma p-série com p = tfrac12. Sabemos que
sumn=1^infty bn = sumn=1^infty 1raizn
diverge pois p <= 1.

Passo 3

Aplicamos o teste da comparação no limite:
limntoinfty anbn = limntoinfty 1raizn+11raizn = limntoinfty raiznraizn+1 = 1
Como o limite é um número finito e estritamente positivo, as duas séries têm o mesmo comportamento. Logo
sumn=1^infty 1raizn+1 diverge.

Passo 4

Para a segunda série definimos
an = 2^n+13^n = l(23r)^n + l(13r)^n
O termo dominante é l(tfrac23r)^n, que é uma série geométrica convergente pois a razão tfrac23 satisfaz |tfrac23|<1. Tomamos
bn = l(23r)^n

Passo 5

Calculamos o limite do quociente:
limntoinfty anbn = limntoinfty 2^n+13^nl(23r)^n = limntoinfty 2^n+12^n = 1
Novamente o limite é finito e positivo, logo sumn=1^infty 2^n+13^n converge juntamente com sum bn.

Resposta

A série sumn=1^infty 1raizn+1 diverge.
A série sumn=1^infty 2^n+13^n converge.

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