Use o teste da comparação no limite para determinar quando as séries
e
convergem ou divergem.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a convergência ou divergência das séries
e
usando o teste da comparação no limite. Vamos relembrar que esse teste compara termos de duas séries de termos não negativos via o limite do quociente.
usando o teste da comparação no limite. Vamos relembrar que esse teste compara termos de duas séries de termos não negativos via o limite do quociente.
Passo 2
Para a primeira série definimos
Como, para grandes
,
domina 1,
se comporta como
. Tomamos então
que é uma p-série com
. Sabemos que
diverge pois
.
Passo 3
Aplicamos o teste da comparação no limite:
Como o limite é um número finito e estritamente positivo, as duas séries têm o mesmo comportamento. Logo
diverge.
Passo 4
Para a segunda série definimos
O termo dominante é
, que é uma série geométrica convergente pois a razão
satisfaz
. Tomamos
Passo 5
Calculamos o limite do quociente:
Novamente o limite é finito e positivo, logo
converge juntamente com
.
Resposta
A série
diverge.
A série converge.
A série