Considere a seguinte equação diferencial linear de primeira ordem
e suponha que possui uma solução analítica
. Escolha uma das seguintes alternativas para a sequência (
).
(a)
.
(b)
.
(c)
.
(d)
.
(e)
.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial
e supõe que a solução é uma série de potências da forma (assumo a formulação correta)
As perguntas implícitas: qual é a relação de recorrência entre os coeficientes
? Devemos escolher a alternativa correta entre (a)–(e). Informações relevantes dadas:
- A série de potências para
é . - A condição inicial implica um valor para
: . - A equação relaciona
e : .]
Passo 2
Derivada termo a termo da série. Se
então, diferenciando termo a termo (o que é válido dentro do raio de convergência), obtemos
Explico: cada termo
ao diferenciar vira
. Note que o somatório começa em
porque o termo
é constante e some.
Passo 3
Escrever a equação diferencial com as séries. Substituindo
e
na equação
temos
Passo 4
Pôr os dois somatórios com a mesma potência de
. No primeiro somatório trocamos o índice para que a potência seja
: faça
. Assim, quando
temos
, e para
também
. Então
O segundo somatório já está em potências
; renomeando o índice
para
(apenas para combinar) fica
Portanto a equação fica
Passo 5
Igualar coeficientes de potências de
. Uma série de potências é identicamente zero numa vizinhança se, e somente se, todos os seus coeficientes forem zero. Assim, para todo
devemos ter
Renomeando o índice
de volta para
(padrão usual), obtemos a relação de recorrência
Observação didática: isso dá diretamente
.
Passo 6
Determinar
da condição inicial e forma explícita (curto reforço). Da condição inicial
obtemos
Aplicando a recorrência iterativamente temos
Isso coincide com a expansão de
, o que confirma que a solução é
. Mas a pergunta pedia apenas a relação entre os coeficientes, que já foi encontrada.
Resposta
(d) (n+1) a_{n+1}-3 a_{n}=0