Considere a seguinte equação diferencial linear de primeira ordem \left\{\begin{array}{l}x^{\prime}-3 x=0 \\\ x(0)=1\end{array} \quad\right. e suponha que possui uma solução analítica x(t)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} t. Escolha uma das seguintes alternativas para a sequência ( a_{n} ).
(a) n a_{n+1}-3 a_{n-1}=0.
(b) 2 n a_{n+1}-3 a_{n}=0.
(c) n a_{n+1}-3 a_{n}=0.
(d) (n+1) a_{n+1}-3 a_{n}=0.
(e) (n-1) a_{n-1}-3 a_{n}=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial
\begin{cases} x'(t)-3x(t)=0,\\[4pt] x(0)=1, \end{cases}
e supõe que a solução é uma série de potências da forma (assumo a formulação correta)
x(t)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} t^{n}.
As perguntas implícitas: qual é a relação de recorrência entre os coeficientes \{a_n\}? Devemos escolher a alternativa correta entre (a)–(e). Informações relevantes dadas:
  • A série de potências para x(t) é \sum_{n=0}^\infty a_n t^n.
  • A condição inicial implica um valor para a_0: x(0)=a_0=1.
  • A equação relaciona x' e x: x' - 3x = 0.]

Passo 2

Derivada termo a termo da série. Se
x(t)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} t^{n},
então, diferenciando termo a termo (o que é válido dentro do raio de convergência), obtemos
x'(t)=\sum_{n=1}^{\infty} n\,a_{n} t^{\,n-1}.
Explico: cada termo a_n t^n ao diferenciar vira n a_n t^{n-1}. Note que o somatório começa em n=1 porque o termo n=0 é constante e some.

Passo 3

Escrever a equação diferencial com as séries. Substituindo x' e x na equação x'(t)-3x(t)=0 temos
\sum_{n=1}^{\infty} n\,a_{n} t^{\,n-1} \;-\; 3\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} t^{\,n} \;=\; 0.

Passo 4

Pôr os dois somatórios com a mesma potência de t. No primeiro somatório trocamos o índice para que a potência seja t^m: faça m=n-1. Assim, quando n=1 temos m=0, e para n\to\infty também m\to\infty. Então
\sum_{n=1}^{\infty} n\,a_{n} t^{\,n-1} = \sum_{m=0}^{\infty} (m+1)\,a_{m+1} t^{\,m}.
O segundo somatório já está em potências t^n; renomeando o índice n para m (apenas para combinar) fica
3\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} t^{\,n} = 3\sum_{m=0}^{\infty} a_{m} t^{\,m}.
Portanto a equação fica
\sum_{m=0}^{\infty} \big( (m+1)\,a_{m+1} - 3 a_{m}\big) t^{\,m} = 0.

Passo 5

Igualar coeficientes de potências de t. Uma série de potências é identicamente zero numa vizinhança se, e somente se, todos os seus coeficientes forem zero. Assim, para todo m\ge 0 devemos ter
(m+1)\,a_{m+1} - 3 a_{m} = 0.
Renomeando o índice m de volta para n (padrão usual), obtemos a relação de recorrência
(n+1)\,a_{n+1} - 3 a_{n} = 0,\quad \text{para todo } n\ge 0.
Observação didática: isso dá diretamente a_{n+1} = \dfrac{3}{n+1}\,a_n.

Passo 6

Determinar a_0 da condição inicial e forma explícita (curto reforço). Da condição inicial x(0)=1 obtemos
a_0 = 1.
Aplicando a recorrência iterativamente temos
a_1=\frac{3}{1}a_0=3,\quad a_2=\frac{3}{2}a_1=\frac{3^2}{2!},\quad\text{e por indução } a_n=\frac{3^n}{n!}.çã
Isso coincide com a expansão de e^{3t}, o que confirma que a solução é x(t)=e^{3t}. Mas a pergunta pedia apenas a relação entre os coeficientes, que já foi encontrada.

Resposta

(d) (n+1) a_{n+1}-3 a_{n}=0

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