e assinale a alternativa que melhor se aplica a esta série.
(a) A série converge para uma função f(x) ímpar e contínua em (-\pi, \pi).
(b) Nenhuma das outras afirmações é verdadeira.
(c) A série converge para uma função f(x) ímpar e contínua por partes em (-\pi, \pi).
(d) A série converge para uma função f(x) ímpar e contínua por partes em [-\pi, \pi].
(e) A série converge para uma função f(x) ímpar e contínua em [-\pi, \pi].
Passo 1
O enunciado dá a série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\sin(kx)}{\sqrt{k}}
e pede que a gente assinale qual alternativa melhor se aplica. As informações relevantes são:
Os termos gerais são \dfrac{\sin(kx)}{\sqrt{k}} para k=1,2,\dots.
Queremos saber sobre convergência da série em função de x e sobre propriedades da função limite f(x) (paridade, continuidade, continuidade por partes) no intervalo (-\pi,\pi) ou em [-\pi,\pi].
As alternativas mencionam que f seria ímpar e com diferentes tipos de continuidade (contínua, contínua por partes) em (-\pi,\pi) ou em [-\pi,\pi], ou então que nenhuma é verdadeira.
Passo 2
Vamos primeiro estudar a convergência ponto a ponto (fixando x). Uma ferramenta conveniente é o Teste de Dirichlet para séries de funções. Vou enunciar a versão que usamos:
Se (a_k) é uma sequência real positiva, monótona decrescente com \lim_{k\to\infty} a_k=0, e se os somatórios parciais
B_n(x)=\sum_{k=1}^n b_k(x)
são uniformemente limitados em n (isto é, existe M tal que |B_n(x)|\le M para todo n), então a série \sum_{k=1}^\infty a_k b_k(x) converge (para esse x).
No nosso caso tome
a_k=\frac{1}{\sqrt{k}},\qquad b_k(x)=\sin(kx).
As a_k são positivas, decrescentes e tendem a 0. Precisamos ver se os somatórios parciais de b_k(x) são limitados (para x fixo).
ou seja, os somatórios parciais são limitados por uma constante que depende de x (mas não de n). Assim, para todo x tal que \sin\!\big(\tfrac{x}{2}\big)\neq 0 (isto é, para todo x\not\in 2\pi\mathbb{Z}) o Teste de Dirichlet assegura que a série converge.
Se x\in 2\pi\mathbb{Z} (por exemplo x=0 ou x=\pm 2\pi,\pm4\pi,\dots), então \sin(kx)=0 para todo k, logo a soma é trivialmente 0 e a série converge também. Conclusão: a série converge ponto a ponto para todo x\in\mathbb{R}, em particular para todo x\in(-\pi,\pi).
Passo 3
Paridade da função limite. Cada termo \dfrac{\sin(kx)}{\sqrt{k}} é função ímpar em x (pois \sin é ímpar). A soma pontual de funções ímpares é ímpar (quando a soma existe ponto a ponto). Logo a função limite
f(x)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin(kx)}{\sqrt{k}}
é ímpar: isto significa que f(-x)=-f(x) para todo x onde a série convergiu (aqui, para todo x).
Passo 4
Continuidade em pontos x com \sin\!\big(\tfrac{x}{2}\big)\neq 0 (ou seja, x\neq 0 dentro de (-\pi,\pi)). A argumentação:
Para qualquer intervalo compacto que não contenha 0, existe \delta>0 tal que |\sin\!\big(\tfrac{x}{2}\big)|\ge \delta nesses x. Assim a desigualdade
dá um limite uniforme dos somatórios parciais em x nesse intervalo. Aplicando a versão uniforme do Teste de Dirichlet/Abel, obtemos que a série converge uniformemente nesse intervalo e, portanto, a soma é contínua nesse intervalo.
Em particular, em cada um dos intervalos (-\pi,0) e (0,\pi) a função f é contínua (pois em cada intervalo fechado interior a zero podemos garantir |\sin(x/2)| afastado de zero).
Então f é contínua em todos os pontos de (-\pi,\pi) exceto possivelmente em x=0.
Passo 5
Verificamos o comportamento em x\to 0. Aqui aparece o ponto crucial: a série é convergente em x=0 (pois todos os termos são zero lá), mas a soma f(x) explode quando x\to 0 (logo não é contínua em 0). Vou mostrar uma estimativa elementar que deixa claro o crescimento quando x é pequeno e não nulo.
Escolha x>0 pequeno e tome M=\left\lfloor \dfrac{\pi}{2x}\right\rfloor. Para k=1,2,\dots,M temos 0\le kx\le \dfrac{\pi}{2}, e na faixa [0,\tfrac{\pi}{2}] vale a desigualdade elementar (por convexidade de \sin)
\sin t \ge \frac{2}{\pi}\, t,\qquad 0\le t\le \frac{\pi}{2}.
onde C' é uma constante positiva (dependendo de \pi). Em palavras: a soma dos termos até M cresce como x^{-1/2} quando x\to 0^+. Isso mostra que f(x)\to +\infty quando x\to 0^+. Pelo fato de a função ser ímpar, para x\to 0^- temos f(x)\to -\infty.
Consequência: embora f(0)=0 (a série em x=0 soma 0), os valores f(x) para x próximos de 0 têm módulo arbitrariamente grande. Logo f não é contínua em 0; na verdade há uma singularidade não-removível (divergência do tipo |x|^{-1/2}) em 0.
Passo 6
Juntando tudo:
A série converge ponto a ponto para todo x\in(-\pi,\pi).
A função limite f é ímpar.
f é contínua em (-\pi,0) e em (0,\pi) (ou seja, contínua por partes em (-\pi,\pi)).
f não é contínua em 0 (de fato tende para +\infty quando x\to 0^+ e para -\infty quando x\to 0^-), então não é contínua em todo (-\pi,\pi) nem em [-\pi,\pi].
Portanto a alternativa que descreve corretamente a situação é a alternativa (c).