Considere a seguinte equação diferencial linear de primeira ordem:
y^prime(x)-y(x)=2 x e^2 x,
[1,0] determine a solução particular que satisfaz a condição inicial y(0)=1.

Passo 1

A gente tem uma EDO linear de primeira ordem dada por
y'(x)-y(x)=2x e^2x,
o conteúdo é “equações diferenciais lineares de 1ª ordem” e para resolver vamos usar o método do fator integrante. Precisamos colocar a EDO na forma y'+P(x)y=Q(x), achar o fator integrante mu(x) e então integrar.

Passo 2

Colocando na forma padrão vemos que
y'(x)+P(x)y(x)=Q(x)
com P(x)=-1 e Q(x)=2x e^2x.
O fator integrante é
mu(x)=e^integral P(x),dx=e^integral(-1),dx=e^-x

Passo 3

Multiplicamos toda a EDO por mu(x)=e^-x:
e^-xy'(x)-e^-xy(x)=2x e^2xe^-x=2x e^x
Repare que o lado esquerdo é exatamente a derivada de e^-xy(x):
ddxl(e^-xy(x)r)=2x e^x

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
e^-xy(x)=integral 2x e^x,dx
Para calcular integral2x e^xdx usamos integração por partes: seja u=2x, dv=e^xdx, daí du=2dx, v=e^x.
Então
integral2x e^xdx=2x e^x-integral2e^xdx=2x e^x-2e^x+C
Logo
e^-xy(x)=2x e^x-2e^x+C
e multiplicando por e^x vem a solução geral
y(x)=2x e^2x-2e^2x+C e^x

Passo 5

Falta achar a constante C usando a condição inicial y(0)=1:
Substituindo x=0 em y(x)=2x e^2x-2e^2x+C e^x
y(0)=-2+ C =1Rightarrow C=3
Portanto a solução particular que satisfaz y(0)=1 é
y(x)=2x e^2x-2e^2x+3e^x

Resposta

y(x)=2x e^2x-2e^2x+3e^x

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