Considere a seguinte equação geral de uma cônica:
Reescreva a equação na nova base (sem termo misto) e reduza-a à forma canônica.
Passo 1
O enunciado dá a cônica
e pede (1) reescrevê-la numa base girada sem termo misto e (2) reduzi-la à forma canônica. O conteúdo é a rotação de eixos para eliminar o termo
e depois a translação para completar quadrados e chegar à forma padrão de uma parábola.
Passo 2
Para eliminar o termo misto
usamos a rotação
com
tal que
Dessa equação sai
e
.
Substituindo em , a parte quadrática
vira
Substituindo em
Passo 3
Agora substituímos também os termos lineares e constantes:
Fazendo as contas, isso dá
Logo, na base
girada, a equação fica
Passo 4
Isolamos
e completamos quadrados em
:
Colocando
em evidência e completando quadrado:
Definindo as novas variáveis de translação
e
, obtemos a forma canônica
que é a equação de uma parábola.
Resposta
Equação na base girada
:
Forma canônica após translação
: