Considere a seguinte equação geral de uma cônica:
9 x^{2}-24 x y+16 y^{2}-20 x+110 y-50=0
Reescreva a equação na nova base (sem termo misto) e reduza-a à forma canônica.

Passo 1

O enunciado dá a cônica
9x^{2}-24xy+16y^{2}-20x+110y-50=0
e pede (1) reescrevê-la numa base girada sem termo misto e (2) reduzi-la à forma canônica. O conteúdo é a rotação de eixos para eliminar o termo xy e depois a translação para completar quadrados e chegar à forma padrão de uma parábola.

Passo 2

Para eliminar o termo misto xy usamos a rotação
x = u\cos\theta - v\sin\theta, \quad y = u\sin\theta + v\cos\theta
com \theta tal que
\tan(2\theta)=\frac{B}{A-C} =\frac{-24}{9-16} =\frac{24}{7}.
Dessa equação sai
\cos\theta=\tfrac{4}{5} e \sin\theta=\tfrac{3}{5}.
Substituindo em x,y, a parte quadrática (9x^2-24xy+16y^2) vira
0\cdot u^{2}+25\,v^{2}.

Passo 3

Agora substituímos também os termos lineares e constantes:
-20x+110y-50 =-20\bigl(\tfrac{4}{5}u-\tfrac{3}{5}v\bigr) +110\bigl(\tfrac{3}{5}u+\tfrac{4}{5}v\bigr) -50.
Fazendo as contas, isso dá
50\,u+100\,v-50.
Logo, na base (u,v) girada, a equação fica
25\,v^{2}+50\,u+100\,v-50=0.

Passo 4

Isolamos u e completamos quadrados em v:
25v^{2}+100v+50u-50=0 \;\Longrightarrow\; 50u = -25v^{2}-100v+50 \;\Longrightarrow\; u = -\tfrac12\,v^{2}-2v+1.
Colocando -\tfrac12 em evidência e completando quadrado:
u = -\tfrac12\bigl(v^{2}+4v-2\bigr) =-\tfrac12\bigl((v+2)^{2}-6\bigr) =3-\tfrac12(v+2)^{2}.
Definindo as novas variáveis de translação
\displaystyle U = u-3 e \displaystyle V = v+2, obtemos a forma canônica
V^{2} = -2\,U,
que é a equação de uma parábola.

Resposta

Equação na base girada (u,v):
25\,v^{2}+50\,u+100\,v-50=0.
Forma canônica após translação U=u-3,\;V=v+2:
V^{2} = -2\,U.

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