Seja
a transformação que associa cada função
à sua derivada, isto é,
é uma transformação linear.
Passo 1
O enunciado define a aplicação
onde
e
são espaços vetoriais de funções (por exemplo, de todas as funções reais diferenciáveis em um intervalo). Precisamos mostrar que
é linear, ou seja, que respeita soma de funções e multiplicação por escalar.
Passo 2
Lembrando a definição, um operador
entre espaços vetoriais é linear se, para quaisquer funções
e qualquer escalar
, valem as duas propriedades:
Passo 3
Verificação da aditividade. Para
,
Pela regra de derivação da soma,
Logo
o que implica
.
Passo 4
Verificação da homogeneidade. Para
e
,
Pela regra de derivação do produto de escalar,
Logo
o que implica
.
Resposta
Como
satisfaz aditividade e homogeneidade, concluímos que
é de fato uma transformação linear.