Seja \quad D: V \rightarrow W a transformação que associa cada função \mathbf{f}=f(x) à sua derivada, isto é,
D(\mathbf{f})=f^{\prime}(x)
D é uma transformação linear.

Passo 1

O enunciado define a aplicação
D:V\to W,\quad D\bigl(f(x)\bigr)=f'(x),
onde V e W são espaços vetoriais de funções (por exemplo, de todas as funções reais diferenciáveis em um intervalo). Precisamos mostrar que D é linear, ou seja, que respeita soma de funções e multiplicação por escalar.

Passo 2

Lembrando a definição, um operador D entre espaços vetoriais é linear se, para quaisquer funções f,g\in V e qualquer escalar \alpha\in\mathbb{R}, valem as duas propriedades:
D(f+g)=D(f)+D(g),
D(\alpha f)=\alpha\,D(f).

Passo 3

Verificação da aditividade. Para f,g\in V,
D(f+g)(x)=\bigl(f+g\bigr)'(x).
Pela regra de derivação da soma,
\bigl(f+g\bigr)'(x)=f'(x)+g'(x).
Logo
D(f+g)(x)=D(f)(x)+D(g)(x),
o que implica D(f+g)=D(f)+D(g).

Passo 4

Verificação da homogeneidade. Para \alpha\in\mathbb{R} e f\in V,
D(\alpha f)(x)=\bigl(\alpha f\bigr)'(x).
Pela regra de derivação do produto de escalar,
\bigl(\alpha f\bigr)'(x)=\alpha\,f'(x).
Logo
D(\alpha f)(x)=\alpha\,D(f)(x),
o que implica D(\alpha f)=\alpha\,D(f).

Resposta

Como D satisfaz aditividade e homogeneidade, concluímos que D é de fato uma transformação linear.

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