Considere a seguinte equação geral de uma cônica:
Esboce o gráfico da cônica com base nas informações obtidas. Determine os elementos notáveis da cônica.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação geral da cônica
e pede para esboçar o gráfico e determinar os elementos notáveis.
Conteúdo: reconhecimento de elipse, redução à forma canônica, identificação de centro, semi-eixos, vértices, focos, excentricidade e diretrizes.
Conteúdo: reconhecimento de elipse, redução à forma canônica, identificação de centro, semi-eixos, vértices, focos, excentricidade e diretrizes.
Passo 2
Para converter à forma canônica, isole os termos quadráticos:
Divida ambos os lados por
:
Logo, é uma elipse centrada na origem, com semi-eixos
e
.
Passo 3
Comparando com
vemos que
Como
está no denominador de
, o eixo maior é vertical.
Passo 4
Vértices e co\mbox{-}vértices:
Passo 5
O parâmetro focal
satisfaz
Focos:
Excentricidade:
Passo 6
Diretrizes (linhas horizontais porque o eixo maior é vertical):
Passo 7
Esboço do gráfico:
- Centro em
. - Interseções com os eixos em
e . - Focos em
. - Diretrizes em
e .
A elipse é “vertical”, mais alta que larga.
Resposta
Centro:
Semi\mbox{-}eixos: (vertical),
(horizontal)
Vértices:
Co\mbox{-}vértices:
Focos:
Excentricidade:
Diretrizes:
Esboço: elipse centrada na origem, cruzando os eixos nos pontos acima, maior na direção vertical.
Semi\mbox{-}eixos:
Vértices:
Co\mbox{-}vértices:
Focos:
Excentricidade:
Diretrizes:
Esboço: elipse centrada na origem, cruzando os eixos nos pontos acima, maior na direção vertical.