Considere a seguinte equação geral de uma cônica:
25 x^{2}+9 y^{2}-225=0
Esboce o gráfico da cônica com base nas informações obtidas. Determine os elementos notáveis da cônica.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação geral da cônica
25x^{2} + 9y^{2} - 225 = 0,
e pede para esboçar o gráfico e determinar os elementos notáveis.
Conteúdo: reconhecimento de elipse, redução à forma canônica, identificação de centro, semi-eixos, vértices, focos, excentricidade e diretrizes.

Passo 2

Para converter à forma canônica, isole os termos quadráticos:
25x^{2} + 9y^{2} = 225.
Divida ambos os lados por 225:
\frac{25x^{2}}{225} + \frac{9y^{2}}{225} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{25} = 1.
Logo, é uma elipse centrada na origem, com semi-eixos a e b.

Passo 3

Comparando com
\frac{x^{2}}{b^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1 \quad(a > b),
vemos que
a^{2} = 25,\quad b^{2} = 9 \quad\Longrightarrow\quad a = 5,\quad b = 3.
Como a está no denominador de y^{2}, o eixo maior é vertical.

Passo 4

Vértices e co\mbox{-}vértices:
\text{vértices ao longo de } y: (0, \pm a) = (0, \pm 5),é
\text{co\text{\mbox{-}}vértices ao longo de } x: (\pm b, 0) = (\pm 3, 0).é

Passo 5

O parâmetro focal c satisfaz
c^{2} = a^{2} - b^{2} = 25 - 9 = 16 \quad\Longrightarrow\quad c = 4.
Focos:
(0,\pm c) = (0,\pm4).
Excentricidade:
e = \frac{c}{a} = \frac{4}{5} = 0{,}8.

Passo 6

Diretrizes (linhas horizontais porque o eixo maior é vertical):
y = \pm \frac{a}{e} = \pm \frac{5}{0{,}8} = \pm 6{,}25.

Passo 7

Esboço do gráfico:
  • Centro em (0,0).
  • Interseções com os eixos em (\pm3,0) e (0,\pm5).
  • Focos em (0,\pm4).
  • Diretrizes em y=6{,}25 e y=-6{,}25.
    A elipse é “vertical”, mais alta que larga.

Resposta

Centro: (0,0)
Semi\mbox{-}eixos: a=5 (vertical), b=3 (horizontal)
Vértices: (0,\pm 5)
Co\mbox{-}vértices: (\pm 3,0)
Focos: (0,\pm 4)
Excentricidade: e=0{,}8
Diretrizes: y=\pm 6{,}25
Esboço: elipse centrada na origem, cruzando os eixos nos pontos acima, maior na direção vertical.

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