Considere a seguinte equação geral de uma cônica:
9 x^{2}-16 y^{2}-144=0
Esboce o gráfico da cônica com base nas informações obtidas. Determine os elementos notáveis da cônica.

Passo 1

O enunciado dá a cônica
9x^{2}-16y^{2}-144=0
e pede o esboço do gráfico e os elementos notáveis. O que vamos usar: classificação de cônicas pelo sinal dos quadráticos, escrita na forma canônica de hipérbole, determinação de centro, vértices, focos e assíntotas.

Passo 2

Isolamos a parte quadrática e normalizamos:
9x^{2}-16y^{2}=144
\frac{9x^{2}}{144}-\frac{16y^{2}}{144}=1
\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1
Essa é a forma canônica de uma hipérbole de centro na origem, com eixo transverso horizontal.

Passo 3

Na forma
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1
temos a^{2}=16 e b^{2}=9, logo
a=4,\quad b=3.

Passo 4

Os vértices ficam sobre o eixo x, a uma distância a do centro (0,0):
V_{1}=(4,0),\quad V_{2}=(-4,0).
Os focos também no eixo x, com
c^{2}=a^{2}+b^{2}=16+9=25,\quad c=5,
logo
F_{1}=(5,0),\quad F_{2}=(-5,0).

Passo 5

As assíntotas de uma hipérbole na forma acima são
y=\pm\frac{b}{a}\,x
ou seja
y=\pm\frac{3}{4}x.

Passo 6

Para esboçar: marque o centro (0,0), os vértices (\pm4,0) e os focos (\pm5,0). Desenhe a “retângulo-guia” com vértices em (\pm4,\pm3) e trace suas diagonais, que são as assíntotas y=\pm\frac{3}{4}x. Em seguida, esboce as duas ramas da hipérbole abrindo-se para a direita e para a esquerda, aproximando-se dessas assíntotas.

Resposta

Centro: (0,0)
Vértices: (4,0) e (-4,0)
Focos: (5,0) e (-5,0)
Assíntotas: y=\tfrac{3}{4}x e y=-\tfrac{3}{4}x
Equação canônica: \displaystyle\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1
Esboço: hipérbole com ramos abertos à esquerda e à direita, caminhando junto às assíntotas.

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