As seguintes cinco matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, o que você pode dizer sobre o número de soluções no sistema correspondente: (i) quando o lado direito é b_{1}=\ldots=b_{m}=0, e (ii) para um lado direito geral b_{1}, \ldots, b_{m} ? Justifique suas respostas. \left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 3 & 4\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado nos dá a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\\\ 3 & 4 \end{pmatrix}
e pede que analisemos o número de soluções do sistema A x = b nos dois casos:
(i) b=(0,0) (sistema homogêneo)
(ii) b=(b_{1},b_{2}) arbitrário (sistema não homogêneo)
Para isso, vamos usar o conceito de determinante e o Teorema de Rouché–Capelli (posto da matriz).
Passo 2
Calculamos o determinante de A:
\det(A) =1\cdot4 - 2\cdot3 =4 - 6 =-2.
Como \det(A)\neq0, concluímos que A é invertível e, portanto, seu posto é
\operatorname{rank}(A)=2,
igual ao número de incógnitas.
Passo 3
Quando a matriz é invertível (\operatorname{rank}(A)=n), o Teorema de Rouché–Capelli garante:
O sistema homogêneo A x=0 tem apenas a solução trivial x=0.
Para qualquer vetor b, o sistema A x=b é compatível (posto de A e de [A\mid b] coincidem e valem 2) e, por ter posto igual ao número de incógnitas, a solução é única.
Resposta
(i) No caso homogêneo b_{1}=b_{2}=0, existe apenas a solução trivial x=(0,0).
(ii) Para qualquer lado direito (b_{1},b_{2}), o sistema é compatível e tem solução única.