Seja T: R^{3} \rightarrow R^{3} o operador linear definido pela fórmula
T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(3 x_{1}+x_{2},-2 x_{1}-4 x_{2}+3 x_{3}, 5 x_{1}+4 x_{2}-2 x_{3}\right)
Determine se T é injetor; se for, encontre T^{-1}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right).

Passo 1

O enunciado dá um operador linear
T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3, \quad T(x_1,x_2,x_3) = \bigl(3x_1 + x_2,\;-2x_1 -4x_2 +3x_3,\;5x_1 +4x_2 -2x_3\bigr)
e pede para verificar se T é injetora (isto é, se é invertível) e, em caso afirmativo, achar a fórmula de T^{-1}(x_1,x_2,x_3). Vamos usar o critério de determinante para testar a invertibilidade e, depois, resolver o sistema T(x)= (u,v,w).

Passo 2

Escrevendo T na forma matricial relativa à base canônica, temos
A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0\\\\ -2 & -4 & 3\\\\ 5 & 4 & -2 \end{pmatrix},
de modo que T(x)=A x. Sabemos que T é injetora (e, como é de \mathbb{R}^3 em \mathbb{R}^3, também sobrejetora) se, e somente se, \det(A)\neq 0.

Passo 3

Vamos calcular o determinante de A:
\det(A) = 3\det\begin{pmatrix}-4 & 3\\\\ 4 & -2\end{pmatrix} -1\det\begin{pmatrix}-2 & 3\\\\ 5 & -2\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots) =3\bigl((-4)(-2)-3\cdot4\bigr)-\bigl((-2)(-2)-3\cdot5\bigr)
=3(8-12)-\bigl(4-15\bigr) =3(-4)-(-11) =-12+11 =-1\neq 0.
Como \det(A)=-1, concluímos que T é injetora e, portanto, invertível.

Passo 4

Para encontrar T^{-1}\), escrevemos \[T(x_1,x_2,x_3) = (u,v,w) \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} 3x_1 + x_2 = u,\\\\ -2x_1 -4x_2 +3x_3 = v,\\\\ 5x_1 +4x_2 -2x_3 = w. \end{cases}
Da primeira equação vem
x_2 = u - 3x_1.
Substituindo em 2ª e 3ª equações, obtemos
10x_1 + 3x_3 = v + 4u, \quad -7x_1 -2x_3 = w - 4u.
Resolvendo esse sistema em (x_1,x_3] (por combinação linear), chega-se a
x_1 = 4u - 2v - 3w, \quad x_3 = -12u + 7v + 10w.
Então
x_2 = u - 3x_1 = u - 3(4u -2v -3w) = -11u + 6v + 9w.

Resposta

T é injetora e a sua inversa é dada por
T^{-1}(x_1,x_2,x_3) =\bigl(4x_1 \;-\;2x_2\;-\;3x_3,\; -11x_1\;+\;6x_2\;+\;9x_3,\; -12x_1\;+\;7x_2\;+\;10x_3\bigr).

Exercícios relacionados