Seja \quad J: V \rightarrow W a transformação que associa cada função \mathbf{f}=f(x) a
J(f)=\int_{0}^{x} f(t) d t
J é uma transformação linear.

Passo 1

O enunciado define uma aplicação J:V\to W entre espaços vetoriais de funções, dada por
J(f)(x)=\int_{0}^{x}f(t)\,dt.
Queremos mostrar que J é linear, isto é, para quaisquer f,g\in V e todo escalar c, valem as propriedades de aditividade e homogeneidade.

Passo 2

(Adicionalidade) Tomemos f,g\in V. Então, para todo x,
J(f+g)(x) =\int_{0}^{x}\bigl(f(t)+g(t)\bigr)\,dt =\int_{0}^{x}f(t)\,dt+\int_{0}^{x}g(t)\,dt =J(f)(x)+J(g)(x).
Logo, J(f+g)=J(f)+J(g).

Passo 3

(Homogeneidade) Seja c um escalar. Então, para todo x,
J(c\,f)(x) =\int_{0}^{x}c\,f(t)\,dt =c\int_{0}^{x}f(t)\,dt =c\,J(f)(x).
Logo, J(c\,f)=c\,J(f).

Passo 4

Como J satisfaz simultaneamente
J(f+g)=J(f)+J(g) \quad\text{e}\quad J(c\,f)=c\,J(f),
concluímos que J é de fato uma transformação linear.

Resposta

J é linear.

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