Seja
a transformação que associa cada função
a
é uma transformação linear.
Passo 1
O enunciado define uma aplicação
entre espaços vetoriais de funções, dada por
Queremos mostrar que
é linear, isto é, para quaisquer
e todo escalar
, valem as propriedades de aditividade e homogeneidade.
Passo 2
(Adicionalidade) Tomemos
. Então, para todo
,
Logo,
.
Passo 3
(Homogeneidade) Seja
um escalar. Então, para todo
,
Logo,
.
Passo 4
Como
satisfaz simultaneamente
concluímos que
é de fato uma transformação linear.