Determine, se existir, a equação do plano tangente ao gráfico da função
no ponto
,
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d. Não existe o plano tangente
e.
f.
g.
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d. Não existe o plano tangente
e.
f.
g.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente ao gráfico da função
no ponto $ P = (2, 0, f(2, 0)) $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especialmente derivadas parciais, que nos ajudam a achar a inclinação da função nas direções de $ x $ e $ y $. Vamos precisar calcular $ f(2, 0) $, as derivadas parciais $ f_x $ e $ f_y $ nesse ponto e, por fim, montar a equação do plano tangente usando essas informações.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular $ f(2, 0) $. Substituindo $ x = 2 $ e $ y = 0 $ na função:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais $ f_x $ e $ f_y $. A derivada parcial em relação a $ x $ ($ f_x $) nos mostra como a função muda quando a gente varia só o $ x $, mantendo $ y $ constante. A derivada parcial em relação a $ y $ ($ f_y $) faz o mesmo para o $ y $.
Primeiro, $ f_x $:
Usando a regra da cadeia:
Simplificando:
Agora, $ f_y $:
Aplicando a regra da cadeia:
Simplificando:
Passo 4
Vamos avaliar essas derivadas no ponto $ (2, 0) $.
Primeiro, $ f_x(2, 0) $:
Agora, $ f_y(2, 0) $:
Passo 5
Com esses valores, podemos montar a equação do plano tangente. A fórmula geral é:
Aqui, $ a = 2 $, $ b = 0 $, $ f(a, b) = 12 + 3 \ln(6) $, $ f_x(a, b) = \frac{15}{2} $ e $ f_y(a, b) = 3 $.
Substituindo:
Resposta
A equação do plano tangente é:
Portanto, a opção correta é a g.