Determine, se existir, a equação do plano tangente ao gráfico da função
f(x, y)=3 raiz4 x^2+9 y^4+3(ln (3 x+6 y))
no ponto P=(2,0, f(2,0)),
Escolha uma opção:
a. z-(12+3 ln (6))=152(x+2)+12 y
b. z-(12+3 ln (6))=152(x-2)+12 y
c. z+(12+3 ln (6))=152(x-2)+3 y
d. Não existe o plano tangente
e. z+(12+3 ln (6))=152(x-2)+12 y
f. z-(12+3 ln (6))=152(x+2)+3 y
g. z-(12+3 ln (6))=152(x-2)+3 y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente ao gráfico da função
f(x, y) = 3 raiz4 x^2+9 y^4 + 3 ln(3 x + 6 y)
no ponto $ P = (2, 0, f(2, 0)) $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especialmente derivadas parciais, que nos ajudam a achar a inclinação da função nas direções de $ x $ e $ y $. Vamos precisar calcular $ f(2, 0) $, as derivadas parciais $ f_x $ e $ f_y $ nesse ponto e, por fim, montar a equação do plano tangente usando essas informações.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular $ f(2, 0) $. Substituindo $ x = 2 $ e $ y = 0 $ na função:
f(2, 0)
x = 2
y = 0

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais $ f_x $ e $ f_y $. A derivada parcial em relação a $ x $ ($ f_x $) nos mostra como a função muda quando a gente varia só o $ x $, mantendo $ y $ constante. A derivada parcial em relação a $ y $ ($ f_y $) faz o mesmo para o $ y $.
Primeiro, $ f_x $:
fx
Usando a regra da cadeia:
fy
Simplificando:
x
Agora, $ f_y $:
fx
Aplicando a regra da cadeia:
x
Simplificando:
y

Passo 4

Vamos avaliar essas derivadas no ponto $ (2, 0) $.
Primeiro, $ f_x(2, 0) $:
(2, 0)
fx(2, 0)
fx(2, 0) = 12 cdot 2raiz4 cdot 2^2 + 9 cdot 0^4 + 93 cdot 2 + 6 cdot 0
Agora, $ f_y(2, 0) $:
fx(2, 0) = 24raiz16 + 96
fx(2, 0) = 244 + 1.5 = 6 + 1.5 = 7.5 = 152

Passo 5

Com esses valores, podemos montar a equação do plano tangente. A fórmula geral é:
z = f(a, b) + fx(a, b)(x - a) + fy(a, b)(y - b)
Aqui, $ a = 2 $, $ b = 0 $, $ f(a, b) = 12 + 3 \ln(6) $, $ f_x(a, b) = \frac{15}{2} $ e $ f_y(a, b) = 3 $.
Substituindo:
a = 2
b = 0

Resposta

A equação do plano tangente é:
z - (12 + 3 ln(6)) = 152(x - 2) + 3, y
Portanto, a opção correta é a g.

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