Questão
: Calcule a integral
em que
e
é a parte do cilindro
, entre os paraboloides
e
, juntamente às partes destes paraboloides que estão dentro do cilindro. Considere a superfície orientada positivamente (todos os normais apontando para o exterior do sólido).
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos.
- Pede-se calcular a integral de fluxo
onde
.
- A superfície
é a superfície fechada que consiste na parte do cilindro , entre os paraboloides e , juntamente com as porções desses dois paraboloides que ficam dentro do cilindro. A orientação é positiva (normais apontando para o exterior do sólido). - Informação útil extraída do enunciado: o sólido
é o conjunto dos pontos tais que
- Objetivo final: obter um número (o fluxo total de
através de ).
Passo 2
Escolha do método e por que ele vale aqui.
- Como a superfície
é fechada e o campo é suave em todo o domínio considerado (componentes são funções diferenciáveis: cosseno, polinômios e exponencial), é apropriado usar o Teorema da Divergência (Gauss). - Enunciado do Teorema da Divergência (forma que vamos usar):
onde
é a divergência de
e
é o volume interior à superfície fechada
. O teorema transforma o problema de fluxo pela superfície fechada em uma integral tripla sobre o volume
, que costuma ser mais simples de calcular quando
tem simetria (aqui há simetria cilíndrica).
- Vou, portanto, calcular
e depois avaliar .
Passo 3
Calcular a divergência
passo a passo.
- A divergência é
- Calcule cada derivada parcial:
-
porque não depende de . -
-
-
-
- Somando:
Passo 4
Descrição do volume
em coordenadas cilíndricas e preparação da integral.
- Em coordenadas cilíndricas usamos
com elemento de volume
.
- O domínio
é dado por , e limites em
pois
.
- Em coordenadas cilíndricas a divergência fica
Observação útil:
, então
.
Passo 5
Montar a integral tripla e simplificar usando simetrias angulares.
- Pelo Teorema da Divergência,
- Escrevendo
, o integrando é . - A parte angular envolvendo
vai desaparecer ao integrar de a , porque
Portanto só precisamos integrar a parte
. Assim a integral reduz para
Passo 6
Calcular explicitamente as integrais em
e
.
- Primeiro a integral em
. Uma primitiva de em é . Logo
- Expandindo e simplificando:
e subtrair
dá
(Atenção: verificar com calma os termos em
.) Vamos refazer essa simplificação com cuidado:
então
Subtraindo
obtemos
Portanto o resultado correto é
- Multiplicando pelo
que vem do jacobiano:
- Agora integrar em
de a :
Passo 7
Integral em
e resultado final.
- Multiplicando pelo fator angular
temos
- Lembrete: a parte
não contribuiu porque seu componente angular integrou zero em .