Questão 4(2,5) : Calcule a integral
\oiint_{S} \vec{F} \cdot d S
em que \vec{F}(x, y, z)=\left(\cos \left(z^{2}+y^{2}\right)+3 x y,-\frac{3}{2} y^{2}, z^{2}+z+x y z-e^{x^{3}-1}\right) e S é a parte do cilindro x^{2}+y^{2}=1, entre os paraboloides z=x^{2}+y^{2} e z=5-x^{2}-y^{2}, juntamente às partes destes paraboloides que estão dentro do cilindro. Considere a superfície orientada positivamente (todos os normais apontando para o exterior do sólido).

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos.
  • Pede-se calcular a integral de fluxo
\oiint_{S}\vec{F}\cdot dS
onde \vec{F}(x,y,z)=\left(\cos\left(z^{2}+y^{2}\right)+3xy,\; -\tfrac{3}{2}y^{2},\; z^{2}+z+xyz-e^{x^{3}-1}\right).
  • A superfície S é a superfície fechada que consiste na parte do cilindro \,x^{2}+y^{2}=1, entre os paraboloides \,z=x^{2}+y^{2} e \,z=5-x^{2}-y^{2}, juntamente com as porções desses dois paraboloides que ficam dentro do cilindro. A orientação é positiva (normais apontando para o exterior do sólido).
  • Informação útil extraída do enunciado: o sólido V é o conjunto dos pontos (x,y,z) tais que
x^{2}+y^{2}\le 1,\qquad x^{2}+y^{2}\le z\le 5-(x^{2}+y^{2}).
  • Objetivo final: obter um número (o fluxo total de \vec{F} através de S).

Passo 2

Escolha do método e por que ele vale aqui.
  • Como a superfície S é fechada e o campo \vec{F} é suave em todo o domínio considerado (componentes são funções diferenciáveis: cosseno, polinômios e exponencial), é apropriado usar o Teorema da Divergência (Gauss).
  • Enunciado do Teorema da Divergência (forma que vamos usar):
\oiint_{\partial V}\vec{F}\cdot dS=\iiint_{V}(\nabla\cdot\vec{F})\,dV,
onde \nabla\cdot\vec{F} é a divergência de \vec{F} e V é o volume interior à superfície fechada \partial V=S. O teorema transforma o problema de fluxo pela superfície fechada em uma integral tripla sobre o volume V, que costuma ser mais simples de calcular quando V tem simetria (aqui há simetria cilíndrica).
  • Vou, portanto, calcular \nabla\cdot\vec{F} e depois avaliar \iiint_{V}(\nabla\cdot\vec{F})\,dV.

Passo 3

Calcular a divergência \nabla\cdot\vec{F} passo a passo.
  • A divergência é
\nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial}{\partial x}\Big(\cos\!\big(z^{2}+y^{2}\big)+3xy\Big) +\frac{\partial}{\partial y}\Big(-\tfrac{3}{2}y^{2}\Big) +\frac{\partial}{\partial z}\Big(z^{2}+z+xyz-e^{x^{3}-1}\Big).
  • Calcule cada derivada parcial:
    • \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}\!\big(\cos(z^{2}+y^{2})\big)=0 porque z^{2}+y^{2} não depende de x.
    • \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}(3xy)=3y.
    • \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}\!\big(-\tfrac{3}{2}y^{2}\big)=-\tfrac{3}{2}\cdot 2y=-3y.
    • \displaystyle \frac{\partial}{\partial z}\!(z^{2}+z+xyz-e^{x^{3}-1})=2z+1+xy.
  • Somando:
\nabla\cdot\vec{F}=3y-3y+(2z+1+xy)=2z+1+xy.

Passo 4

Descrição do volume V em coordenadas cilíndricas e preparação da integral.
  • Em coordenadas cilíndricas usamos
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad z=z,
com elemento de volume dV=r\,dz\,dr\,d\theta.
  • O domínio V é dado por 0\le r\le 1, 0\le\theta\le 2\pi e limites em z
r^{2}\le z\le 5-r^{2},
pois x^{2}+y^{2}=r^{2}.
  • Em coordenadas cilíndricas a divergência fica
2z+1+xy=2z+1+r^{2}\cos\theta\sin\theta.
Observação útil: \cos\theta\sin\theta=\tfrac{1}{2}\sin(2\theta), então xy=\tfrac{r^{2}}{2}\sin(2\theta).

Passo 5

Montar a integral tripla e simplificar usando simetrias angulares.
  • Pelo Teorema da Divergência,
\oiint_{S}\vec{F}\cdot dS=\iiint_{V}(2z+1+xy)\,dV =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\int_{z=r^{2}}^{z=5-r^{2}}\big(2z+1+xy\big)\,r\,dz\,dr\,d\theta.
  • Escrevendo xy=\tfrac{r^{2}}{2}\sin(2\theta), o integrando é (2z+1)r + \dfrac{r^{3}}{2}\sin(2\theta).
  • A parte angular envolvendo \sin(2\theta) vai desaparecer ao integrar \theta de 0 a 2\pi, porque
\int_{0}^{2\pi}\sin(2\theta)\,d\theta=0.
Portanto só precisamos integrar a parte (2z+1)r. Assim a integral reduz para
\iiint_{V}(2z+1)\,dV =\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{1}\!dr\int_{r^{2}}^{5-r^{2}}(2z+1)r\,dz.

Passo 6

Calcular explicitamente as integrais em z e r.
  • Primeiro a integral em z. Uma primitiva de 2z+1 em z é z^{2}+z. Logo
\int_{r^{2}}^{5-r^{2}}(2z+1)\,dz=\big[z^{2}+z\big]_{z=r^{2}}^{z=5-r^{2}} =(5-r^{2})^{2}+(5-r^{2})-\big((r^{2})^{2}+r^{2}\big).
  • Expandindo e simplificando:
(5-r^{2})^{2}+(5-r^{2})=(25-10r^{2}+r^{4})+(5-r^{2})=30-12r^{2}+r^{4},
e subtrair (r^{4}+r^{2})
30-12r^{2}+r^{4}-r^{4}-r^{2}=30-13r^{2}.
(Atenção: verificar com calma os termos em r^{2}.) Vamos refazer essa simplificação com cuidado:
(5-r^{2})^{2}=25-10r^{2}+r^{4},
então
(5-r^{2})^{2}+(5-r^{2})=25-10r^{2}+r^{4}+5-r^{2}=30-11r^{2}+r^{4}.
Subtraindo (r^{4}+r^{2}) obtemos
30-11r^{2}+r^{4}-r^{4}-r^{2}=30-12r^{2}.
Portanto o resultado correto é
\int_{r^{2}}^{5-r^{2}}(2z+1)\,dz=30-12r^{2}.
  • Multiplicando pelo r que vem do jacobiano:
\int_{r^{2}}^{5-r^{2}}(2z+1)r\,dz=(30-12r^{2})r=30r-12r^{3}.
  • Agora integrar em r de 0 a 1:
\int_{0}^{1}(30r-12r^{3})\,dr=30\cdot\frac{1}{2}-12\cdot\frac{1}{4}=15-3=12.

Passo 7

Integral em \theta e resultado final.
  • Multiplicando pelo fator angular \int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi temos
\iiint_{V}(2z+1)\,dV=(2\pi)\cdot 12=24\pi.
  • Lembrete: a parte xy não contribuiu porque seu componente angular integrou zero em [0,2\pi].

Resposta

24\pi

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